线性代数矩阵的秩r(A^n)=r[A^(n+1)]这个式子对于方阵本身有什么要求呢?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 05:58:14

线性代数矩阵的秩r(A^n)=r[A^(n+1)]这个式子对于方阵本身有什么要求呢?
比如有一个矩阵是
0 1 0
0 0 1
0 0 0
那这个矩阵平方之后就会变成
0 0 1
0 0 0
0 0 0
二者的秩是不同的,我现在非常困惑,我知道如何证明这个式子是正确的,但是却在应用中遇到问题,
我看有的书上写的,要求矩阵为非奇异矩阵,如果是非奇异的话,矩阵的秩不就等于方阵的维数n了吗?那样的话,这个公式还有什么意义呢?永远都是等于n的.

对n阶方阵A总是有 r(A^n)=r[A^(n+1)]
并不是对非奇异矩阵才成立
非奇异矩阵的任意幂次的秩总是 n
一般情况下方阵的秩越乘越小(不变大)
这个结论是说A^k的秩小到一定程度就不会再小了
再问：可是这个公式没有说n是趋于无穷大的呀。
再答： n是固定的, 是A的阶
没说n趋于无穷大呀
再问：那按照我举得例子，这个公式不就不成立了么。。。也就是说不是所有的情况都能直接用呗，那我在做抽象证明题的时候可否使用这个公式呀？
再答：你那个例子也成立呀
n=3
A^3=0

线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1. 线性代数题设A是n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,试证：R（A*）=n 当R(A)=n时1 当R(A)=n-1时0 当R(A (ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC). 线性代数问题n阶方阵A,A*为A的伴随矩阵,求证1：当r（A）=n-1时,r（A*）=1；2：当r（A）＜n-1时,r（线性代数中R(A)=R(B)=n,R(A),R(B)为矩阵A,B的秩, 线性代数：如果n阶矩阵A的秩r 线性代数秩的问题,A,B是俩n阶方阵,当有AB=0时,为什么有r(A)+r(B)≤n,懂者进线性代数秩的证明题设A是n*n矩阵r(A)=n时,r(A*)=nr(A)=n-1时,r(A*)=1r(A) 线性代数问题：求证：A是5阶方阵,R(A)=3,则A*=0 另对于n阶方阵A,R(A) 设 a是方阵,a'是a的转置矩阵,且a'的秩r(a')=n-1则a的秩r(a)＝一个线性代数问题.若两个n阶方阵A,B乘积为可逆矩阵.那么r(AB)=n 吗? 线性代数：若n阶方阵A为不可逆矩阵,则必有R(A)