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（2012•海淀区二模）已知函数f(x)＝aln(x−a)−12x2+x(a＜0)．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/09 06:47:21
（2012•海淀区二模）已知函数f(x)＝aln(x−a)−
1
2
x
（I）f（x）的定义域为（a，+∞）．
f′(x)＝
a
x−a−x+1＝
−x2+(a+1)x
x−a．
令f'（x）=0⇒x=0或x=a+1．
当-1＜a＜0时，a+1＞0，函数f（x）与f'（x）随x的变化情况如下表：

x（-∞，0）0（0，a+1）a+1（a+1，+∞）
f′（x）-0+0-
f（x）↘极小值↗极大值↘所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，a+1），单调递减区间是（a，0）和（a+1，+∞）．…（4分）
（II）证明：当-1＜a＜2（ln2-1）＜0时，
由（I）知，f（x）的极小值为f（0），极大值为f（a+1）．
因为f（0）=aln（-a）＞0，f(a+1)＝−
1
2(a+1)2+(a+1)＝
1
2(1−a2)＞0，
且f（x）在（a+1，+∞）上是减函数，
所以f（x）至多有一个零点．
又因为f(a+2)＝aln2−
1
2a2−a＝−
1
2a[a−2(ln2−1)]＜0，
所以函数f（x）只有一个零点x0，且a+1＜x0＜a+2．…（9分）
（III）因为−1＜−
4
5＜2(ln2−1)，
所以任意x1，x2∈[0，x0]且x2-x1=1，
由（II）可知x1∈[0，a+1]，x2∈（a+1，x0]，且x2≥1．
因为函数f（x）在[0，a+1]上是增函数，在（a+1，+∞）上是减函数，
所以f（x1）≥f（0），f（x2）≤f（a+1），
∴f（x1）-f（x2）≥f（0）-f（1）．
当a＝−
4
5时，f(0)−f(1)＝aln(
a
a−1)−
1
2＝
4
5ln
9
4−
1
2＞0．
所以f（x1）-f（x2）≥f（0）-f（1）＞0
所以|f（x2）-f（x1）|的最小值为f(0)−f(1)＝
4
5ln
9
4−
1
2．
所以使得|f（x2）-f（x1）|≥m恒成立的m的最大值为
4
5ln
9
4−
1
2．…（14分）
（2011•杭州二模）已知函数f(x)＝12x2+(a−3)x+lnx． （2013•宜宾二模）已知函数f(x)＝−x2−2x+a(x＜0)f(x−1)(x≥0)，且函数y=f（x）-x恰有3个 （2013•丰台区二模）已知函数 f(x)＝alnx−(a+1)x+12x2(a≥0)． （2013•珠海二模）已知函数f(x)＝x2−ax+14x−4×2x−a，x≥ax＜a， （2013•海淀区二模）已知函数f(x)＝1−cos2x2sin(x−π4)． 已知函数f（x）=x2+2aln（1-x）（a∈R）,g（x）=f（x）-x2+x （2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0． （2013•西城区二模）已知函数f(x)＝23x3−2x2+(2−a)x+1，其中a＞0． 已知函数f（x）=x2+aln x． 已知函数f（x）=x，g（x）=aln x，a∈R． （2012•海淀区一模）已知函数f(x)＝sinx+sin(x−π3)． 已知函数f(x)=aln(x+1)+1/2x^2-ax+1（a>0）.求函数y=f(x)的极值