连续函数一定有原函数.含有第二类间断点的函数可能含有原函数,第一类没有.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 02:52:01

连续函数一定有原函数.含有第二类间断点的函数可能含有原函数,第一类没有.
那含有第一类间断点的函数可积,含有第二类间断点的函数是否可积?能不能帮我总结一下这些由原函数,可积之间的关系?

这的确是很容易混淆的两个概念,其实这二者之间没有什么关系,也就是说可积可能原函数不是初等函数,原函数存在也可能不可积.例如sinx/x,它有第一类间断点,故原函数不是初等函数,但它在R上是可积的.再如1/x的原函数存在且为初等函数lnx,但其在(0,1)上不可积（包括广义积分）.另外需要注意的是,函数有原函数和函数的原函数是初等函数也是两个不同的概念,只要连续就有原函数,但其原函数不一定是初等函数,还是刚才的f(x)=sinx/x,补充定义f(0)=0后,它是连续的,有原函数,但原函数不是初等函数.含有第二类间断点的函数,常义积分（就是一般的定积分）一定是不存在的,因为常义可积的必要条件是函数有界,但是其广义积分可能存在.
再问：为什么含有第一类间断点的函数没有原函数？是符合只有连续才能有原函数吗？振荡间断点到底是什么样的间断点，sin1/x感觉想不出来。
再答：导函数没有第一类间断点，这是一个定理，这里就不证明了。这就是说，不是所有的函数都可以成为某个函数的导函数的，用集合和映射的观点来说，就是如果把全体函数的集合即为A，把求导作为从A到A的一个映射，那么这个映射一定不是满射。第二类间断点的特征是左右极限至少有一个不存在，但极限不存在有两种情况，极限是无穷大或极限不是无穷大也不存在，前者是无穷间断点，后者是震荡间断点。当x趋于0时1/x趋于无穷大，sin(1/x)就在x=0附近循环取值于闭区间[-1,1]，并且x距离0越近，循环就越快，这导致x趋于0的极限既不是无穷大（因为sin是有界函数）但也不存在。
再问：那所谓的震荡间断点就是x=0这一点吗
再答：对于sin1/x来说只有x=0是震荡间断点（这函数也没有别的间断点了），但是其它函数就不一定了，不一定都是x=0这点啊。

证明：含第一类间断点的函数无原函数. 导函数间断点问题有人说导函数没有第一类间断点,也就是说有些导函数可以有第二类间断点.可是在一点处可导的定义是,左导数等于可积函数可以有有限个间断点,这些间断点是第一类还是第二类高等数学中,函数的第一类间断点怎么求? 不连续函数有原函数吗? 关于考研数学的间断点、原函数问题假如x.是函数的第二类间断点,那函数一定在x.没有定义吗? 求函数的左右极限原题如下：x=0是函数arctan(1/x)的（）.1、第而类间断点 2、可去间断点 3、跳跃间断点说高数定积分问题,李永乐复习全书上定积分一章关于第一类间断点是否有原函数的评注上有这样一句话：若f(x)=①f1(X), 为什么说单调增加函数的间断点都是第一类间断点不也可以是可去间断点吗如果函数存在第一类间断点但是有界,它是否有原函数呢? 一个函数的导函数是否存在第一类间断点?