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设在部分球面x²+y²+z²=5R²,x>0,y>0,z>0上函数f(x,y,z

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 07:49:38
设在部分球面x²+y²+z²=5R²,x>0,y>0,z>0上函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz有极大值
求该极大值,并用上述结果证明对任意a,b,c,满足abc³≤27[(a+b+c)/5]^5
5R^2=x^2+y^2+1/3*z^2+1/3*z^2+1/3*z^2>=5/27*(xyz^3)^(2/5),即xyz^3
再问: ...求详细解 我用拉格朗日乘数法做的 证明出不来
再答: 不等式解其实也可以的,用乘数法的话 设L = lnx+lny+3lnz+λ(x²+y²+z²-5R²) 求偏导得 L'(x) = 1/x+2λx=0 L'(y) = 1/y+2λy=0 L'(z) = 3/z+2λz=0 得到x,y,z用λ表示 带回球面方程 -1/(2λ)-1/(2λ)-3/(2λ)=5R² λ=-1/(2R²) 极值点为 (R, R, √3R) f(max) = 2InR+3In(√3R) = InR^2*√(27)R^3 = In√(27)R^5 = 5/2In(27R^2) 和不等式作的答案一样