A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证：ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/02 16:56:38

A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证：ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n
(只需要证充分性)谢谢~

ABA是逆当且仅当ABAB = E,即(AB)^2 = E.
充分性：记C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考虑下述的分块矩阵用一系列初等变换：
E+C 0
0 E-C
E+C E-C
0 E-C
2E E-C
E-C E-C
2E E-C
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
2E 0
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
由于初等变换保秩,所以第一个矩阵和最后一个矩阵秩相等.
第一个矩阵由条件秩为n,所以最后一个矩阵中分块的部分
E-C - (E-C)(E-C)/2 = (E+C)(E-C)/2 = 0
所以C^2 = E,证毕.
再问：谢谢，看懂了~方法很巧妙~
再答：这是比较常用的方法，可以处理很多矩阵的秩不等式

:设A是元素为整数的n阶方阵,则存在元素为整数的n阶方阵B,使得AB=E的充分必要条件矩阵秩的证明题设A,B是n阶矩阵,且ABA=B的逆矩阵.证明秩（E+AB）+秩（E-AB）=nABA＝B^(-1)，所以设A,B是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B,证明A+B可逆设A、B均为n阶可逆矩阵,ABA=B^(-1),E为n的单位矩阵,证明R(E-AB)+R(E+AB）=n 设A是n阶方阵,若存在n阶非零方阵B,使得AB=BA=B,则A=E.为什么是错的? A是n阶方阵,B是n*s矩阵,且秩R(B）=n证明（1）AB=0,则A=0（2）AB=B,则A=E 设A,B是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B证明A+E可逆,证明AB=BA 设A为n阶方阵,求证：A^2=A的充分必要条件是：R(A)+R(A-E)=n.这个问题的充分性怎么证啊? 设A,B是两个N阶方阵,满足条件AB=E,|A|=-5,则|B|= 设A是n阶方阵,E是n阶单位阵.证明：如果A方等于A,则秩A+秩（A-E）=n 试证不存在n阶方阵A、B满足AB-BA=E(E为单位矩阵）线性代数与解析几何设N阶方阵A的N个特征值互异,B是N阶可逆阵.证明AB=BA(充分必要条件)存在可逆阵P使得P逆AP和