已知函数f（x）=ekx-2x（k为非零常数）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/20 20:13:32

已知函数f（x）=e^kx-2x（k为非零常数）．
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥1恒成立，求k的值；
（Ⅲ）对于f（x）增区间内的三个实数x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃），证明：

f(x

（I）∵f（x）=e^x-2x，
∴f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，得x=lnx，
∴当x＜ln2，f′（x）＜0，可得f（x）在（-∞，ln2）单调递减，当x＞ln2，f′（x）＞0，可得f（x）在（ln2，+∞）单调递增，
∴f（x）的最小值为f（ln2）=2-2ln2．
（II）∵f′（x）=ke^kx-2，
①若k＜0时，f′（x）恒小于零，则f（x）在R上单调递减；
∵当x＞0时，f（x）＜f（0）=1，
∴不符合f（x）≥1恒成立．
②若k＞0时，令f′（x）=0，得x＝
1
kln
2
k，
当x＜
1
kln
2
k时，f′（x）＜0，可知f（x）在(−∞，
1
kln
2
k)单调递减，当x＞
1
kln
2
k时，f′（x）＞0，可知f（x）在(
1
kln
2
k，+∞)单调递增，
∴f（x）的最小值为f(
1
kln
2
k)=
2
k−
2
kln
2
k，
∵f（x）≥1恒成立，即f（x）_min≥1，
∴
2
k−
2
kln
2
k≥1，
构造函数g（x）=x-xlnx（x＞0），则有g(
2
k)≥1，
∵g′（x）=1-lnx-1=-lnx，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=1，当且仅当x=1时取得最大值，结合g(
2
k)≥1，
∴
2
k＝1，
∴k=2．
（ III）解法1：
由已知可知，f′（x₂）=kekx2-2≥0，则k＞0，
先证
f(x2)−f(x1)
x2−x1＜f′（x₂），
∵x₂-x₁＞0，
要证
f(x2)−f(x1)
x2−x1＜f′（x₂），
只要证f(x2)−f(x1)＜(x2−x1)(kekx2−2)，即证

已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)求函数f(x)的最小值; (2)已知k为非零常数,若不等式|t-k|+| 已知函数F(x)=a（x^2-x-1）e^(3-x),a为a为非零常数. 已知a为非零常数,函数f(x)=a(lg1-x/1+x)(-1 已知函数f(x)=x^2+3／x－a（x不等于a,a为非零常数）⑴解不等式f(x)小于x ⑵设x大于a时f(x)的最小值已知反比例函数y=x分之k-1 （k为常数且不等于零）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=k2+f（x）恒成立．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的集合：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=k2+f（x）恒成立．已知函数f(x)=a(x^2-x-1)e^3-x(x属于R),a为非零常数已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D，等式f(kx)＝k2+f(x)恒成立．已知函数f（x）=lg（x+x/a-2）,其中a为大于零的常数.求函数f（x）的定义域聪明人进来已知函数f（×）=a·2的x次方+b·3的x次方,其中a,b为非零常数1.若ab＞0,判断f（x）的单调性.2 数学好的,速度!已知二次函数f（x）=ax的平方+x+1（a为非零常数）1,当a=2时,数列（an）的前n项和为f（n）