（2014•聊城一模）已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/27 09:20:52

（2014•聊城一模）已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=-

（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x
f′（x）=
1
x+a-2x-1
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0
故
1
0+a−2×0−1＝0，
解得a=1，经检验a=1符合题意，
则实数a的值为1；
（Ⅱ）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x
由f（x）=-
5
2x+b，得ln（x+1）-x²+
3
2x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+
3
2x-b，
则f（x）=-
5
2x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．
φ′（x）=
1
x+1-2x+
3
2=
−(4x+5)(x−1)
2(x+1)，
当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上单调递增；
当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，
依题意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+
3
2-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+
1
2，
故实数b的取值范围为：[ln3-1，ln2+
1
2）；
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}，由（1）知f（x）=
−x(2x+3)
x+1，
令f′（x）=0得，x=0或x=-
3
2（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）
对任意正整数n，取x=
1
n＞0得，ln（
1
n+1）＜
1
n+
1
n2
∴ln（
n+1
n）＜
n+1
n2，
故2+
3
4+
4
9+…+

已知函数f（x）=ln（x+a）-x^2-x在x=0处取得极值已知函数f（x）=ln(x+a)-x∧2-x在x＝0处取得极值, 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值. 3、已知函数f（x）=x^2+x-ln（x+a）在x=0处取得极值已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.求实数a的值. （2013•聊城二模）已知函数f（x）=1−a+lnxx在x=e上取得极值，a，t∈R，且t＞0．已知函数f(x)=ln(x+a)-x^2-x在x=0取得极值, 已知函数f(x)=ln(ax+1)+((1-x)/(1+x),x大于或等于0,其中a＞0.f（x）在x=1处取得极值,求已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若关于x 已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值. 设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．已知函数f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在x＝−12和x＝32处取得极值．