作业帮一个群论问题令G是一个有限生成群,H是一个有有限指数的子群.求证,H是有限生成的.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 19:29:08
一个群论问题
令G是一个有限生成群,H是一个有有限指数的子群.求证,H是有限生成的.
令G是一个有限生成群,H是一个有有限指数的子群.求证,H是有限生成的.
[找到了一个简单的做法,居然没想到……]
设[H:G]=r,且t(1),...,t(r)是H在G中的一组右陪集代表元,其中t(1)=e.任取G中元素g,任取一个i（1≤i≤r）,则存在唯一的j（记作g(i)）,使得
H*t(i)*g = H*t(j)
从而存在唯一H中的元素h(i,g),使得
t(i)*g = h(i,g)*t(g(i))
容易验证,i → g(i) 是G在{1,...,r}上的一个作用,即：
g'(g(i)) = gg'(i)
设X是G的生成元集合,另作集合Y,由X中各元素的逆组成.于是X、Y是有限集合,并且G中的任意元素都能表示为X∪Y中元素的有限乘积.特别地,对H中的任意元素a,存在X∪Y中的元素y_1,...,y_s,使得
a = y_1y_2...y_s
于是
a = t(1)a = t(1)y_1...y_s = h(1,y_1)t(y_1(1))y_2...y_s
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)t(y_1y_2(1))y_3...y_s = ...
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)...h(y_1...y_{s-1}(1),y_s)t(a(1))
但是Ha=H,故t(a(1)) = t(1) = 1
这就说明了H中的任意元素a均可表为以下集合中元素的有限积：
{h(i,x)|1≤i≤r,x∈X∪Y}
这是一个有限集,即证
设[H:G]=r,且t(1),...,t(r)是H在G中的一组右陪集代表元,其中t(1)=e.任取G中元素g,任取一个i（1≤i≤r）,则存在唯一的j（记作g(i)）,使得
H*t(i)*g = H*t(j)
从而存在唯一H中的元素h(i,g),使得
t(i)*g = h(i,g)*t(g(i))
容易验证,i → g(i) 是G在{1,...,r}上的一个作用,即：
g'(g(i)) = gg'(i)
设X是G的生成元集合,另作集合Y,由X中各元素的逆组成.于是X、Y是有限集合,并且G中的任意元素都能表示为X∪Y中元素的有限乘积.特别地,对H中的任意元素a,存在X∪Y中的元素y_1,...,y_s,使得
a = y_1y_2...y_s
于是
a = t(1)a = t(1)y_1...y_s = h(1,y_1)t(y_1(1))y_2...y_s
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)t(y_1y_2(1))y_3...y_s = ...
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)...h(y_1...y_{s-1}(1),y_s)t(a(1))
但是Ha=H,故t(a(1)) = t(1) = 1
这就说明了H中的任意元素a均可表为以下集合中元素的有限积：
{h(i,x)|1≤i≤r,x∈X∪Y}
这是一个有限集,即证
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