已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx,g（x）=xe^1-x（其中a∈R,e为自然对数底数）

已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx,g（x）=xe^1-x（其中a∈R,e为自然对数底数）
（1）求函数g（x）在（0,e]上的值域 （2）若不等式f（x）>0对任意x∈（0,1/2）恒成立,求实数a的取值范围.（3）若对于任意给定的x0∈（0,e],在（0,e]上总存在两个不同的Xi（i=1,2）,使得f（Xi）=g（x0）成立,求a的取值范围.好的50分.

（I）当a=1时,f（x）=x-1-2lnx,则f'（x）=1-$\frac{2}{x}$,
由f'（x）＞0,得x＞2；由f'（x）＜0,得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0,2],单调增区间为[2,+∞）；
（II）因为f（x）＜0在区间$（0,\frac{1}{2}）$上恒成立不可能,
故要使函数$f（x）在（0,\frac{1}{2}）$上无零点,
只要对任意的$x∈（0,\frac{1}{2}）$,f（x）＞0恒成立,即对$x∈（0,\frac{1}{2}）,a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立．
令$l（x）=2-\frac{2lnx}{x-1},x∈（0,\frac{1}{2}）$,则$l（x）=-\frac{{\frac{2}{x}（x-1）-2lnx}}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{{2lnx+\frac{2}{x}-2}}{{{{（x-1）}^2}}}$,
再令$m（x）=2lnx+\frac{2}{x}-2,x∈（0,\frac{1}{2}）$,
则$m'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{-2（1-x）}{x^2}＜0$,故m（x）在$（0,\frac{1}{2}）$上为减函数,于是$m（x）＞m（\frac{1}{2}）=2-2ln2＞0$,
从而,l（x）＞0,于是l（x）在$（0,\frac{1}{2}）$上为增函数,所以$l（x）＜l（\frac{1}{2}）=2-4ln2$,
故要使$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞）,
综上,若函数f（x）在$（0,\frac{1}{2}）$上无零点,则a的最小值为2-4ln2；
（III）g'（x）=e1-x-xe1-x=（1-x）e1-x,
当x∈（0,1）时,g'（x）＞0,函数g（x）单调递增；
当x∈（1,e]时,g'（x）＜0,函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0,g（1）=1,g（e）=e•e1-e＞0,
所以,函数g（x）在（0,e]上的值域为（0,1]．
当a=2时,不合题意；当a≠2时,f'（x）=$2-a-\frac{2}{x}=\frac{（2-a）x-2}{x}=\frac{{（2-a）（x-\frac{2}{2-a}）}}{x}$,x∈（0,e]
当x=$\frac{2}{2-a}$时,f'（x）=0．
由题意得,f（x）在（0,e]上不单调,故$0＜\frac{2}{2-a}＜e$,即$a＜2-\frac{2}{e}$①
此时,当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下：
又因为,当x→0时,f（x）→+∞,
$f（\frac{2}{2-a}）=a-2ln\frac{2}{2-a},f（e）=（2-a）（e-1）-2$,
所以,对任意给定的x0∈（0,e],在（0,e]上总存在两个不同的xi（i=1,2）,
使得f（xi）=g（x0）成立,当且仅当a满足下列条件：
$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{2}{2-a}）≤0}\\{f（e）≥1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a-2ln\frac{2}{2-a}≤0②}\\{（2-a）（e-1）-2≥1③}\end{array}\right.$
令h（a）=$a-2ln\frac{2}{2-a},a∈（-∞,2-\frac{2}{e}）$,
则h$'（a）=1-2[ln2-ln（2-a）]'=1-\frac{2}{2-a}=\frac{a}{a-2}$,令h'（a）=0,得a=0或a=2,
故当a∈（-∞,0）时,h'（a）＞0,函数h（a）单调递增；
当$a∈（0,2-\frac{2}{e}）$时,h'（a）＜0,函数h（a）单调递减．
所以,对任意$a∈（-∞,2-\frac{2}{e}）$,有h（a）≤h（0）=0,
即②对任意$a∈（-∞,2-\frac{2}{e}）$恒成立．
由③式解得：$a≤2-\frac{3}{e-1}$．④
综合①④可知,当$a∈（{-∞,2-\frac{3}{e-1}}]$时,对任意给定的x0∈（0,e],
在（0,e]上总存在两个不同的xi（i=1,2）,
使f（xi）=g（x0）成立．