作业帮比如：无穷个1/7相加,是有理数还是无理数?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 21:04:54
比如：无穷个1/7相加,是有理数还是无理数?
又如：e=1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+...而e是无理数
那么究竟无穷个有理数相加所得的和是无理数还是有理数?
两个有理数相加，和肯定是有理数。三个同样如此。那么为什么无穷个的时候，和会有无理数的情况？
为了使小数不成周期变化，我只要取不具有某些性质的一群数就可以举出个例子？比如所有质数的倒数和，如何证明是无理数呢？我很希望是严格的证明（虽然有可能看不懂），但是光用嘴说太抽象。
又如：e=1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+...而e是无理数
那么究竟无穷个有理数相加所得的和是无理数还是有理数?
两个有理数相加，和肯定是有理数。三个同样如此。那么为什么无穷个的时候，和会有无理数的情况？
为了使小数不成周期变化，我只要取不具有某些性质的一群数就可以举出个例子？比如所有质数的倒数和，如何证明是无理数呢？我很希望是严格的证明（虽然有可能看不懂），但是光用嘴说太抽象。
两种情况都有可能,下面举例说明.
1）
和为无理数的情况：
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+……+(1/n^2)+……=pai^2/6
即自然数倒数的平方和为六分之派的平方,派为圆周率.
2）
和为有理数的情况：
(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+(1/2^4)+……+(1/2^n)+……=1
即首项为1/2,公比为1/2的等比数列其所有项的和就是1,为有理数
你追加的问题很好.
无理数本身按初中定义就是无限不循环小数,你加了无数个有理数,也就是起循环的周期变为无穷大了,就比如一个圆,你说它的半径为无限大,那圆周不就变成了直线了吗?这就是极限的问题,等你学了高等数学可能理解这些东西更简单一些.
比如pai=3.1415926……
那我们也可以看成是无限个有理数的和,
3.1415926……=3+0.1+0.04+0.001+0.0005……
希望我说的这些有助于你的理解.
1）
和为无理数的情况：
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+……+(1/n^2)+……=pai^2/6
即自然数倒数的平方和为六分之派的平方,派为圆周率.
2）
和为有理数的情况：
(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+(1/2^4)+……+(1/2^n)+……=1
即首项为1/2,公比为1/2的等比数列其所有项的和就是1,为有理数
你追加的问题很好.
无理数本身按初中定义就是无限不循环小数,你加了无数个有理数,也就是起循环的周期变为无穷大了,就比如一个圆,你说它的半径为无限大,那圆周不就变成了直线了吗?这就是极限的问题,等你学了高等数学可能理解这些东西更简单一些.
比如pai=3.1415926……
那我们也可以看成是无限个有理数的和,
3.1415926……=3+0.1+0.04+0.001+0.0005……
希望我说的这些有助于你的理解.