作业帮高二数学过抛物线作弦轨迹方程问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 16:35:08
高二数学过抛物线作弦轨迹方程问题
过抛物线y^2=4x的焦点F作弦,则弦的中点的轨迹方程_______
过抛物线y^2=4x的焦点F作弦,则弦的中点的轨迹方程_______
由题知抛物线焦点为（1,0）
当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k^2x^2-（2k^2+4）x+k^2=0,由题意知斜率不等于0,
方程是一个一元二次方程,由韦达定理：
x1+x2=(2k^2+4)/k^2
所以中点横坐标：x=(x1+x2)/2=(k^2+2) /k^2
代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）=2/k．
即中点为（(k^2+2) /k^2,2/k）
消参数k,得其方程为
y^2=2x-2
当直线斜率不存在时,直线的中点是（1,0）,符合题意,
故答案为：y^2=2x-2
当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k^2x^2-（2k^2+4）x+k^2=0,由题意知斜率不等于0,
方程是一个一元二次方程,由韦达定理：
x1+x2=(2k^2+4)/k^2
所以中点横坐标：x=(x1+x2)/2=(k^2+2) /k^2
代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）=2/k．
即中点为（(k^2+2) /k^2,2/k）
消参数k,得其方程为
y^2=2x-2
当直线斜率不存在时,直线的中点是（1,0）,符合题意,
故答案为：y^2=2x-2
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