二阶非齐次微分方程 y''+2y'+y=(e^(-x))/x

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 05:31:44

二阶非齐次微分方程 y''+2y'+y=(e^(-x))/x
y''+2y'+y=(e^(-x))/x 话说这题等式右边有1/x

∵齐次方程y''+2y'+y=0的特征方程是r²+2r+1=0,则r=-1（重根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-x) (C1,C2是任意常数)
于是,根据齐次方程的通解,设原方程的解为
y=(C1(x)x+C2(x))e^(-x) (C1(x),C2(x)表示关于x的函数)
根据高阶方程常数变易法,求得
C1(x)=ln│x│+1+C1,C2(x)=C2-x (C1,C2是任意常数)
即y=(xln│x│+C1x+C2)e^(-x)
故原方程的通解是y=(xln│x│+C1x+C2)e^(-x) (C1,C2是任意常数).

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