数列{an}的前n项和记为Sn,已知a(1)=1,a(n+1)=Sn×〔(n+2)|n〕,n属于N
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/08 20:07:21
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a(1)=1,a(n+1)=Sn×〔(n+2)|n〕,n属于N
证明:(1)数列{Sn|n}是等比数列;(2)S(n+1)=4×an
证明:(1)数列{Sn|n}是等比数列;(2)S(n+1)=4×an
证明:
(1)
注意到:a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得:
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知,{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列.
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)=S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得:S(n+1)=(n+1)*2^n=(n+1)*2^(n-2)*2^2=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n)
(1)
注意到:a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得:
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知,{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列.
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)=S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得:S(n+1)=(n+1)*2^n=(n+1)*2^(n-2)*2^2=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n)
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a(1)=1,a(n+1)=Sn×〔(n+2)|n〕,n属于N
一道数学题:设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,a(n+1)=Sn+3^n,n属于N*.
一道数学题:设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,a(n-1)=Sn+3^n,n属于N.
设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,(2Sn)/n=a(n+1)-1/3n^2-n-2/3
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=2Sn(n属于N*)求数列通项
数列{an}的前n项和为Sn,已知A1=a,An+1=Sn+3^n(三的n次方),n∈N*
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,3Sn=5an-A(n-1)+3S(n-1)(n≥2,n属于N*)设bn=
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=13(an−1)(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=23an+1(n∈N*);
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2/n)Sn(n=1,2,3…). 求证:数列{Sn/n}
已知数列 an的前 n项和为Sn=n-5an-85 ,且n属于N* ,(1
已知数列 an前n项和为Sn,a1=1,Sn=2a(n+1),求Sn