作业帮一道高中竞赛的数论 (知道含原题试卷的麻烦传一下)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 13:48:54
一道高中竞赛的数论 (知道含原题试卷的麻烦传一下)
若正整数m,n,k满足:mn=k^2+1,证明:存在a,b,c,d属于自然数,使以下三式:
m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,k=ac+bd同时成立.
或是知道含此题的原竞赛试卷的,麻烦发一下试卷和答案.
..好的追加分.
有人找到的原题的没?..应该是联赛初赛的..
个人觉得可能会使用数学归纳法证的.
嗯..5楼的能麻烦解释下为什么
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(ad-bc)i
mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=k^2+1
因此(ac-bd)^2=1或(ad-bc)^2=1
这几步没怎么弄懂.两平方和等于另两个数平方和,不能得出(ac-bd)^2=1或(ad-bc)^2=1吧?..
前面的证法给了点启示,.
若正整数m,n,k满足:mn=k^2+1,证明:存在a,b,c,d属于自然数,使以下三式:
m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,k=ac+bd同时成立.
或是知道含此题的原竞赛试卷的,麻烦发一下试卷和答案.
..好的追加分.
有人找到的原题的没?..应该是联赛初赛的..
个人觉得可能会使用数学归纳法证的.
嗯..5楼的能麻烦解释下为什么
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(ad-bc)i
mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=k^2+1
因此(ac-bd)^2=1或(ad-bc)^2=1
这几步没怎么弄懂.两平方和等于另两个数平方和,不能得出(ac-bd)^2=1或(ad-bc)^2=1吧?..
前面的证法给了点启示,.
【简解】
[引] 在欧拉证明费马平方和定理的过程中,得到四条附属结论：
第四条为：“如果x和y互素,则x^2+y^2的所有因子都能表示为两个平方数之和.”
（该步可用『无穷递降法』证明）
对于整数Z=mn=k^2+1^2,则m、n都能表示为两个整数的平方和
记m=a^2+b^2,n=c^2+d^2
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(ad-bc)i
mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=k^2+1
因此(ac-bd)^2=1或(ad-bc)^2=1
因为假设的a、b或c、d之间可替换,因此只要取其中一种情况.
即取：(ad-bc)^2=1,由此k^2=(ac+bd)^2
则题设结论成立.
补充：
1）若m,n是素数,则a、b、c、d具备唯一性,mn的平方和仅有2种分解方式,如上,其中1种对应k^2+1.
2）若m,n不是素数,则各取1个素因子p、q,由引理可知p、q能写成两数平方和,且具备唯一性.记mn=Apq,pq的平方和仅有两种分解方式,其中一种乘以A,对应k^2+1.
3）从一般情况看,其实是求不定方程X^2+Y^2=Z的通解.此时将Z写成标准分解式,任取因子对mn,可得到再将m、n分解成两数平方和,按如上方法得到通解.
4）我写成复数形式,是指高斯整数环唯一分解定理是成立的.
[引] 在欧拉证明费马平方和定理的过程中,得到四条附属结论：
第四条为：“如果x和y互素,则x^2+y^2的所有因子都能表示为两个平方数之和.”
（该步可用『无穷递降法』证明）
对于整数Z=mn=k^2+1^2,则m、n都能表示为两个整数的平方和
记m=a^2+b^2,n=c^2+d^2
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(ad-bc)i
mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=k^2+1
因此(ac-bd)^2=1或(ad-bc)^2=1
因为假设的a、b或c、d之间可替换,因此只要取其中一种情况.
即取：(ad-bc)^2=1,由此k^2=(ac+bd)^2
则题设结论成立.
补充：
1）若m,n是素数,则a、b、c、d具备唯一性,mn的平方和仅有2种分解方式,如上,其中1种对应k^2+1.
2）若m,n不是素数,则各取1个素因子p、q,由引理可知p、q能写成两数平方和,且具备唯一性.记mn=Apq,pq的平方和仅有两种分解方式,其中一种乘以A,对应k^2+1.
3）从一般情况看,其实是求不定方程X^2+Y^2=Z的通解.此时将Z写成标准分解式,任取因子对mn,可得到再将m、n分解成两数平方和,按如上方法得到通解.
4）我写成复数形式,是指高斯整数环唯一分解定理是成立的.