已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，0），且和⊙B相切，与y轴

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 05:46:26

已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，

0），且和⊙B相切，与y轴相交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点O和B，顶点在⊙B上，求抛物线的解析式；
（3）若点E在直线l上，且以A为圆心，AE为半径的圆与⊙B相切，求点E的坐标．

（1）过B作BD垂直l交于点D，
∵⊙B与l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD＝
(5)2−(3)2＝4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=
4
3，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
设直线l的解析式为y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k＝
3
4，
∴y＝
3
4x+1.5；

（2）过OB的中点F作HF垂直于x轴交⊙B于点H，连接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF＝
(3)2−(1.5)2＝
3
2
3，
∴H(
3
2，−
3
2
3)，
将O（0，0）、B（3，0）、H(
3
2，−
3
2
3)代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y＝
2
3
3x2−2
3x；

（3）当两圆外切时，AE=2，
作EN⊥x轴于点N．则△AEN∽△ABD，
∴
EN
BD=
AE
AB，即
EN
3=
2
5，解得：EN=
6
5，
把y=
6
5代入y=
3
4x+1.5得：x=-
2
5，则E的坐标是：（-
2
5，
6
5），
同理，当E在A的左侧时坐标是：（-
18
5，-
6
5）；
当两圆内切时，AE=8，同上可求得：E（
22
5，
24
5）或（-
42
5，-
24
5）．