一道数学解析几何在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 11:09:42

一道数学解析几何
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3,0）,那么OA•OB=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由．
第二问的解答是这样的:逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OA•OB=3,那么该直线过点T（3,0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2,2）,B（1/2,1）,此时OA•OB=3,直线AB的方程为：y＝23(x+1),而T（3,0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1,y1）、B（x2,y2）满足OA•OB=3,可得y1y2=-6,
或y1y2=2,如果y1y2=-6,可证得直线AB过点（3,0）；如果y1y2=2,可证得直线
AB过点（-1,0）,而不过点（3,0）．
请问怎么由y1y2=-6,证得直线AB过点（3,0）；y1y2=2,证得直线AB过点（-1,0）?

分析：（1）设出A,B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可,（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A,B两点的坐标根据向量运算求证即可．（1）设过点T（3,0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x1,y1）、B（x2,y2）．当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A（3,√6）、B（3,-√6）．∴OA•OB=3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k（x-3）,其中k≠0,由y2=2xy=k(x-3)得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6又∵x1=1/2 y1²,x2=1/2 y2²,∴OA•OB=x1x2+y1y2=1/4 (y1y2)²+y1y2=3,综上所述,命题“如果直线l过点T（3,0）,那么OA•OB=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果OA•OB=3,那么该直线过点T（3,0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2,2）,B（1/2,1）,此时OA•OB=3,直线AB的方程为：y=2/3 (x+1),而T（3,0）不在直线AB上；说明：由抛物线y²=2x上的点A（x1,y1）、B（x2,y2）满足OA•OB=3,可得y1y2=-6,或y1y2=2,如果y1y2=-6,可证得直线AB过点（3,0）；如果y1y2=2,可证得直线AB过点（-1,0）,而不过点（3,0）．点评：本题考查了真假命题的证明,但要知道向量点乘运算的知识．