如何求一个数列的通项公式？

如何快速、有效地求一个数列的通项公式？

解题思路： 有固定的解法
解题过程：
同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【 添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！ 祝你学习进步，生活愉快 利用递推关系求数列通项的十三种类型 湖北省巴东县第三高级中学 杨开亮（电话：13997763366） 数列是一种特殊的函数，数列的通项公式可以看作项数（的取值范围为正整数或其子集）的函数。数列的通项公式直接表述数列的本质。是给出数列的一种重要方法。递推数列的通项具有很强的逻辑性，是高考考查创新意识、逻辑推理、转化化归能力好素材。近几年的 高考试题和竞赛试题中，几乎都有数列解答题，常常以“可怕”的递推形式出现。 递推是一种重要的 数学思想方法。根据问题的特点建立递推关系，再借助递推关系求解问题的方法之一 ——递推法。凡是可视为正整数为自变量的函数且可建立其递推关系的问题大多可以用此法求解。递推数列的通项有以下几种类型： 题型1.形如型 （1）若为常数,即：,此时数列为等差数列，则=. （2）若为的函数时，用累加法. ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若是关于的二次函数，累加后可分组求和; ③若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和。 方法如下： 由 得： 时，　， ， 所以各式相加得 即：. 为了书写方便，也可用横式来写： 时，， =. 例 1. 已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 解：由 得： 时，　， ， 叠加得 ∴ ∴ 例2. （2003天津文） 已知数列满足, 证明． 证明：由已知得： = ∴. 例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 解：由 得： 时，　， ， 叠加得 ∴． 此题也可以用数学归纳法来求解. 例4、（2005年天津理科13） 在数列中,且则=2600. 题型2.形如型 （1）当为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=. （2）当为的函数时,用累乘法. 由得 时，， =. 例1. 已知,求数列{a_n}的通项公式. 解：因为所以 故又因为,即， 所以由上式可知,所以,故由累乘法得 = 所以-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 例2. 设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 ∴时， ∴==. 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出. 题型3.形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项. 例1. 数列{}满足,,求数列{a_n}的通项公式. 分析 1：构造转化为型 解法1：令 则. 时, 各式相加: 当n为偶数时，.此时 当n为奇数时，此时,所以. 故 解法2：时，， 两式相减得：. 构成以,为首项，以2为公差的等差数列; 构成以,为首项，以2为公差的等差数列 ，. 评注：结果要还原成的表达式. 例2.（2005年江西卷文22）已知数列的前n项和S_n满足 S_n－S_n－2=3求数列的通项公式. 解：方法一：先考虑偶数项有： ……… 同理考虑奇数项有： ……… 综合可得 方法二：因为 两边同乘以，可得： 令 所以 ……… ∴ ∴ ∴ 题型4.形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若为的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例. 已知数列,求此数列的通项公式. 解： …… 所以． 所以原数列的奇数项与偶数项分别构成以3为首项为公比和以为首项为公比的等比数列． ∴当为奇数时，；当为偶数时， ∴ 题型5．形如,其中)型 一、为常数 （1）若=1时，数列{}为等差数列;同题型1． （2）若=0时，数列{}为等比数列;同题型2． （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设, 得,与题设比较系数得 ,所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即：. 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例1．已知数列中，求通项. 分析：两边直接加上,构造新的等比数列。 解：由得, 所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列 所以,即 . 方法二：由 时， 两式相减得 , 数列是以=为首项，以c为公比的等比数列. =( . 方法三：迭代法 由 递推式 直接迭代得 == =. 方法四：归纳、猜想、证明. 先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明. 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 二、若(其中是常数，且) 方法：找规律，相减构造新数列． 例2．在数列中，求通项. 解：， ① 时，， 两式相减得 .令,则 利用题型5的方法知 即 ② 再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出. 例3. 在数列中，,求通项. 解：原递推式可化为 比较系数可得：上式即为 所以是一个等比数列，首项,公比为. 即： 故. 例4(2008年湖北理22) （满分14分）已知数列和满足： ,其中为实数，为正整数. （Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力， 证明：（Ⅰ）假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有, 即矛盾. 所以｛a_n｝不是等比数列. (Ⅱ)解：因为b_n+1=(1)ⁿ⁺¹［a_n+13(n1)+21］=(1)ⁿ⁺¹(a_n2n+14) =(1)ⁿ·（a_n3n+21）= b_n 又,所以 当λ＝－18，b_n=0(n),此时｛b_n｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n). 故当λ≠18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=18,b_n = 0,S_n = 0,不满足题目要求. ∴λ≠18，故知b_n= （λ+18）·（－）ⁿ¹，于是可得 S_n= 要使a<S_n<b对任意正整数n成立， 即a<(λ+18)［1－（－）ⁿ］b() ① 当n为正奇数时，1<f(n) ∴f(n)的最大值为f(1) =, f(n)的最小值为f(2) = , 于是，由①式得a<(λ+18)< 当a<b3a时，由，不存在实数满足题目要求； 当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n, 都有a<S_n<b,且λ的取值范围是． 该类型一般用待定系数法构造等比数列求解，也可用递推法（迭代法）求解. 三、若(其中是常数，且0,1) ①若=1时，即：，累加即可. ②若时，即：， 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以. 即： ,令，则, 然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以 . 即： , 令,则可化为.然后转化为类型5来解， iii.待定系数法： 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 例5.（2003年天津理）设为常数，且． 证明：对任意≥1， 证法1：两边同除以（-2）,得 令,则 = = = ∴. 证法2：由得 . 设，则b. 即：, 所以是以为首项，为公比的等比数列. 则=, 即：, 故 . 评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 证法3：用待定系数法 设, 即:, 比较系数得：,所以 所以, 所以数列是公比为－2，首项为的等比数列. 即 . 方法4：本题也可用数学归纳法证. （i）当时，由已知，等式成立； ( ii)假设当等式成立，则 那么 也就是说，当时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何，成立. 四、若(其中r、q是常数，且0,1) 对型递推关系一般可以将递推关系式两边同除以，得 后再用递推法或构造法求解. 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同. 题型6.形如型 例1、(2006年全国Ⅰ理22) 设数列的前项的和 ， （Ⅰ）求首项与通项； （Ⅱ）设，，证明： 解: (Ⅰ)由 S_n=－×2ⁿ⁺¹+, =1,2,3，… , ① 得 所以, 再由①有 S_n－1=－×2+, =2,3，4,… 将①和②相减得: =S_n－S_n－1= (－)－×(2⁺¹－2),=2,3, … 整理得: +2= 4(+2^－1),=2,3, … , 因而数列{ +2}是首项为+2 = 4 ,公比为4的等比数列, 即 : +2=4×4^－1= 4, =1,2,3, …, 因而=4－2, =1,2,3, …, (Ⅱ)将=4－2代入①得 = ×(4－2)－×2⁺¹ + = ×(2⁺¹－1)(2⁺¹－2) = ×(2⁺¹－1)(2－1) = = × = ×() 所以, = － ) = ×( －) < 题型7.形如型 （1）即 , 采用取倒数法. 例1. 已知数列中，，，求通项公式． 解：取倒数： 例2.（2006年湖北理科）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （Ⅰ）证明 分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题. 证：∵当 即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n≥3时有， ∵ 评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得. （2）.形如型 方法：不动点法: 我们设,由方程求得二根x,y,由有 同理,两式相除有,从而得,再解出即可. 例1. 设数列满足,求的通项公式. 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得： , 令, 解之得t=1,-2 代入得 ,, 相除得,即{}是首项为， 公比为的等比数列, =, 解得. 方法2：， 两边取倒数得， 令b，则b,转化为类型5来求. 题型8.形如(其中,为常数)型 （1）当+=1时 用转化法 例1.数列中，若,且满足,求. 解：把变形为. 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则 利用类型6的方法可得 . （2）当时 用待定系数法. 例2. 已知数列满足，且,且满足,求. 解：令,即,与已知 比较，则有,故或 下面我们取其中一组来运算，即有, 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故 ,即,利用题型 4 的方法， 可得. 评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可. 题型9. 形如(其中p,r为常数)型 （1）0， 用对数法. 例1. 设正项数列满足，（2）.求数列的通项公式. 解：两边取对数得：，， 设，则, ∴是以2为公比的等比数列， ∴ ，，， ∴ 例2．数列中，，（2），求数列的通项公式. 答案： （2）0时 用迭代法. 例3（2005年江西理21）已知数列的各项都是正数,且满足： （1）证明 （2）求数列的通项公式． 解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时， ∴，命题正确. 2°假设n=k时有 则 而 又 ∴时命题正确. 由1°、2°知，对一切时有 方法二：用数学归纳法证明： 1°当=1时，∴； 2°假设n=k时有成立， 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设 有： 即 也即当=+1时 成立， 所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以 , 又=－1，所以． ． 解法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试. 解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解. 题型10. 形如型 (1)若是常数，同题型1. (2)若是一次式同题型1 (3)若是二次式。 例1．(2006年陕西理20)已知正项数列，其前n项和S 满足成等比数列，且10 S= ，求数列的通项公式. 解:∵10 S= ① ∴ 又10 S=(2), ② ① - ②,得， 即. ∵∴. 当.此时不成等比数列，∴. 当.此时有.∴. ∴. 评注:该题用即的关系, . 消去,也可用的方法求出. 例2．（2007年重庆理科21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和， 求证：． 解：（I）解由，解得或， 由假设，因此， 又由， 得，即或， 因，故不成立，舍去． 因此，从而是公差为，首项为的等差数列， 故的通项为． （II）证法一：由可解得； 从而． 因此． 令， 则． 因，故． 特别地，从而． 即． 证法二：同证法一求得及， 由二项式定理知，当时，不等式成立． 由此不等式有 证法三：同证法一求得及． 令，． 因． 因此． 从而 ． 证法四：同证法一求得及． 下面用数学归纳法证明：． 当时，，， 因此，结论成立． 假设结论当时成立，即． 则当时， ； 因．故． 从而．这就是说，当时结论也成立． 综上对任何成立． 例3．（2008年全国理科2）设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：． 解：（Ⅰ）证明：， 故函数在区间(0,1)上是增函数． （Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，， ． 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立； （ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得： .而，则， ，也就是说当时，也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立． （Ⅲ）证明：由．可得： _． 1、若存在某满足，则． 2、若对任意都有，则： 成立． 例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式. 解:由已知得, 化简有,由类型(1)有, 又得,所以,又,, 则． 题型11. 形如型 例１．（2008年湖南理科）（本小题满分12分） 数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 解 (Ⅰ)因为 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 　证法一(1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n =k+1时， 由(1)、(2)所述，当6时，，即当6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，． 于是当时，．综上所述，当时，． 题型12. 形如型 例1．（2008年重庆理科22）设各项均为正数的数列{}满足. （Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需证明）； （Ⅱ）记对2恒成立，求的值及数列{b_n}的通项公式. 解：(Ⅰ)因　，　 由此有， 故猜想的通项为．∴ （Ⅱ）令． 由题设知x₁=1且 ， 　① 　 ② 因②式对n=2成立，有 　 ③ 下面用反证法证明： 由①得． 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 ④ 又由①知 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 ⑤ 由④-⑤得 ⑥ 对n求和得 ⑦ 由题设知 即不等式2^2k+1＜，对恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x₂,结合③式知₂ =, 因此代入⑦式得S_n = 2－(), 所以b_n = = () 题型13. 形如= 0型 例1．（2008年天津理科22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求数列与的通项公式； （Ⅲ）设.证明. 本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分 解：（Ⅰ）由题设有，，解得．由题设又有，，解得． （Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，， 猜想，，． 先证，． 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下： （1当时，，等式成立． （2）假设时等式成立，即，． 由题设， 　1　 　　　　2 ①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ． 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立． 综上所述，等式对任何的都成立 再用数学归纳法证明，． （1）当时，，等式成立． （2）假设当时等式成立，即，那么． 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的都成立． 解法二：由题设　1　 　　　 　2 ①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以 　，　，……　，． 将以上各式左右两端分别相乘，得， 由（Ⅰ）并化简得，． 止式对也成立． 由题设有，所以， 即，． 令，则，即． 由得，．所以，即，． 解法三：由题设有，， 所以，，……，． 将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得 ，． 由（Ⅰ），上式对也成立．所以，． 上式对时也成立． 以下同解法二，可得，． （Ⅲ）证明： ． 当，时， ． 注意到， 　． 当，时， 当，时， ． 当，时， ． 所以． 从而时，有 总之，当时有，即．
最终答案：略