已知满足a+ b+ c=1,对任意正实数a,b,c,都有m(a^3+ b^3+ c^3)大于等于6(a^2+b^2+c^

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 20:07:42

已知满足a+ b+ c=1,对任意正实数a,b,c,都有m(a^3+ b^3+ c^3)大于等于6(a^2+b^2+c^2)+1,求实数m的最小值?

代入a = b = c = 1/3得,m/9 ≥ 3,因此m ≥ 27.
以下证明m = 27时不等式成立.
∵a > 0,9a³ > 0,
∴9a³+a ≥ 2·√(9a³·a) = 6a² (均值不等式),
∴9a³ ≥ 6a²-a.
另一方面,
∵27a³ > 0,1 > 0,
∴27a³+2 = 27a³+1+1 ≥ 3·³√(27a³·1·1) = 9a (均值不等式),
∴18a³ ≥ 6a-4/3.
于是27a³ = 9a³+18a³ ≥ 6a²-a+6a-4/3 = 6a²+5a-4/3.
同理,27b³ ≥ 6b²+5b-4/3,27c³ ≥ 6c²+5c-4/3.
相加得27(a³+b³+c³) ≥ 6(a²+c²+c²)+5(a+b+c)-4 = 6(a²+b²+c²)+1.
因此m的最小值就是27.
注:使用均值不等式时,系数的选择是为了a = 1/3时可以成立等号.

已知满足a+ b+ c=1,对任意正实数a,b,c,都有m(a^3+ b^3+ c^3)大于等于6(a^2+b^2+c^ a,b,c属于正实数,已知a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1,求证：a+b+c大于等于3/2 已知a,b,c是正实数且a+b+c=1.求证：a^2+b^2+c^2大于等于1/3 设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2 设abc都是正实数,证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2 a b c都为正实数且a+b+c=1求1/（a+b）+1/(b+c)+1/(c+a)大于等于9/2 设a,b,c均为正实数,求证：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2 已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c 已知a,b,c属于实数且a+b+c=1,求正a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3 设a,b,c,属于正实数,求证a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=2/3 已知非零实数a、b、c满足|2a+b+4|+|3a+2b+c|+|a-b-3c|=0,那么a-b+c=? 实数abc,满足a>b>c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证a+b大于1小于4/3