(9分)如图,已知抛物线 y = x 2 +b x -3a过点A(1,0),B(0,-3),与 x 轴交于另一点C.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/02 06:12:15
(9分)如图,已知抛物线 y = x 2 +b x -3a过点A(1,0),B(0,-3),与 x 轴交于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形, 求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形 为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
(1) y=x 2 +2x-3 (2) P(-1,-4) (3) Q(-2,-3)
分析:(1)抛物线y=x 2 +bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),把两点代入联立解方程组求得a、b.
(2)令y=0,得x 2 +2x-3=0,可以解得C点坐标,过点P作PD⊥y轴,垂足为D,可证PD=BD,进而求出P点坐标.
(3)由(2)知,BC⊥BP当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上,若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,可求出直线PQ的解析式,直线与抛物线联立,求得P坐标.
(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x 2 +bx-3a,
得 ,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y=x 2 +2x-3;
(2)过点P作PD⊥y轴,垂足为D,
令y=0,得x 2 +2x-3=0,
解得x 1 =-3,x 2 =1,
∴点C(-3,0),
∵B(0,-3),
∴△BOC为等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°,
∵PB⊥BC,
∴∠PBD=45°,
∴PD=BD.
∴可设点P(x,-3+x),
则有-3+x=x 2 +2x-3,
∴x=-1,
∴P点坐标为(-1,-4);
(3)由(2)知,BC⊥BP,
(i)当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上;
(ii)当BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,
∵B(0,-3),C(-3,0),
∴直线BC的解析式为y=-x-3,
∵直线PQ∥BC,
∴直线PQ的解析式为y=-x+b,
又P(-1,-4),
∴PQ的解析式为:y=-x-5,
联立方程组得 ,
解得x 1 =-1,x 2 =-2,
∴x=-2,y=-3,
即点Q(-2,-3),
∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3).
分析:(1)抛物线y=x 2 +bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),把两点代入联立解方程组求得a、b.
(2)令y=0,得x 2 +2x-3=0,可以解得C点坐标,过点P作PD⊥y轴,垂足为D,可证PD=BD,进而求出P点坐标.
(3)由(2)知,BC⊥BP当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上,若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,可求出直线PQ的解析式,直线与抛物线联立,求得P坐标.
(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x 2 +bx-3a,
得 ,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y=x 2 +2x-3;
(2)过点P作PD⊥y轴,垂足为D,
令y=0,得x 2 +2x-3=0,
解得x 1 =-3,x 2 =1,
∴点C(-3,0),
∵B(0,-3),
∴△BOC为等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°,
∵PB⊥BC,
∴∠PBD=45°,
∴PD=BD.
∴可设点P(x,-3+x),
则有-3+x=x 2 +2x-3,
∴x=-1,
∴P点坐标为(-1,-4);
(3)由(2)知,BC⊥BP,
(i)当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上;
(ii)当BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,
∵B(0,-3),C(-3,0),
∴直线BC的解析式为y=-x-3,
∵直线PQ∥BC,
∴直线PQ的解析式为y=-x+b,
又P(-1,-4),
∴PQ的解析式为:y=-x-5,
联立方程组得 ,
解得x 1 =-1,x 2 =-2,
∴x=-2,y=-3,
即点Q(-2,-3),
∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3).
如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.
如图,已知以A(1,0)为顶点的抛物线与y轴交于点B,过点B的直线y=kx+1与该抛物线交于另一点c(3,4),
如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C
如图,已知抛物线y=ax 2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧
如图,直线Y=3X+3交X轴于点A,交Y轴于点B,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C(3,0).
如图,已知抛物线y=-3/4x^2+9/4x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C (1)求A,B,C
如图,抛物线y=ax^2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,4)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B
如图,抛物线y=x∧2-4x+1与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0)
如图,抛物线y=x²-2x-k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3)