作业帮(2x-y^2)y’=2y的通解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 12:16:16
(2x-y^2)y’=2y的通解
求微分方程(2x-y²)y'=2y的通解
由原式得：(2x-y²)dy=2ydx,即有2ydx+(y²-2x)dy=0.(1)
P=2y,Q=y²-2x；∂P/∂y=2；∂Q/∂x=-2；∂P/∂y≠∂Q/∂x,故不是全微分方程.
下面找一个积分因子μ(x,y),使其变为全微分方程.
由于(1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2y)(2+2)=2/y是y的函数(不含x),因此积分因子
μ=e^[∫(-2/y)dy]=e^(-2lny)=e^(lny⁻²)=y⁻²=1/y².
将(1)式两边同乘以1/y²得(2/y)dx+(1-2x/y²)dy=d[(2x+y²)/y]=0
积分之得通解为： (2x+y²)/y=C.
再问： 全微分方程没学，学了齐次和非齐次的，用那个能解吗？
再答： 你可能学了一阶线性方程：dy/dx+Py=Q(其中P，Q都是x的函数)的“参数变易法”求解此类方程； 但本题是dy/dx=2y/(2x-y²)不是线性方程，因此“参数变易法”法失效，也就是你说的“齐次和非齐次 的那个”失效。【所谓“线性是指导数y'和函数y都是一次方】。 其实楼上那位heanmeng朋友的解法是很不错的，虽然他本质上用的还是“全微分方程”的解法【等 式两边同除以y²，就是两边同乘以积分因子1/y²】，但有独创性，是独立思考的结果，你可以学习 一下。 解微分方程要比解一般代数方程困难得多。某一种方法往往只适用于某一类型的方程。因此学会区分方程类型很重要。
由原式得：(2x-y²)dy=2ydx,即有2ydx+(y²-2x)dy=0.(1)
P=2y,Q=y²-2x；∂P/∂y=2；∂Q/∂x=-2；∂P/∂y≠∂Q/∂x,故不是全微分方程.
下面找一个积分因子μ(x,y),使其变为全微分方程.
由于(1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2y)(2+2)=2/y是y的函数(不含x),因此积分因子
μ=e^[∫(-2/y)dy]=e^(-2lny)=e^(lny⁻²)=y⁻²=1/y².
将(1)式两边同乘以1/y²得(2/y)dx+(1-2x/y²)dy=d[(2x+y²)/y]=0
积分之得通解为： (2x+y²)/y=C.
再问： 全微分方程没学，学了齐次和非齐次的，用那个能解吗？
再答： 你可能学了一阶线性方程：dy/dx+Py=Q(其中P，Q都是x的函数)的“参数变易法”求解此类方程； 但本题是dy/dx=2y/(2x-y²)不是线性方程，因此“参数变易法”法失效，也就是你说的“齐次和非齐次 的那个”失效。【所谓“线性是指导数y'和函数y都是一次方】。 其实楼上那位heanmeng朋友的解法是很不错的，虽然他本质上用的还是“全微分方程”的解法【等 式两边同除以y²，就是两边同乘以积分因子1/y²】，但有独创性，是独立思考的结果，你可以学习 一下。 解微分方程要比解一般代数方程困难得多。某一种方法往往只适用于某一类型的方程。因此学会区分方程类型很重要。