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如图,Rt△ABC的直角边AB=4,AC=3,三角形ABC内有一点P,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 15:36:09
如图,Rt△ABC的直角边AB=4,AC=3,三角形ABC内有一点P,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E
PF⊥AB于F,且AB /PF+AC /PE+BC?PD=12,求PD,PE,PF的长

为了书写简便
设PF=X PE=Y PD=Z
根据勾股定理得BC²=AB²+AC²
BC=5
∵AB /PF+AC /PE+BC/PD=12
∴4/X+3/Y+5/Z=12 ①
连接PA PB PC
面积法可以得到另外的等式
S△ABC=3*4/2
S△PAB=4X/2
S△PBC=3Y/2
S△PAC=5Z/2
三个小三角形面积和等于S△ABC=3*4/2=6
∴4X+3Y+5Z=12 ②
①②联立有
4X-4/X+3Y-3/Y+5Z-5/Z=0
即4(X- 1/X)+3(Y- 1/Y)+5(Z- 1/Z)=0
可以得到
X=1/X
Y=1/Y
Z=1/Z
∴X=Y=Z=1
PD=PE=PF=1