线性代数的可对角化证明题~

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 00:12:59

线性代数的可对角化证明题~
Let A be a 4*4 matrix , prove that if A has 4 linearly independent eigenvectors, so does A^T
证明：A是可对角化的,
存在 P·α·P^-1 A P=D
然后可逆
然后就不知道了~
P·α 是哪儿来的~?

我看不懂这个证明,本题是要证明A^T有四个线性无关的特征向量吧?
那很简单啊,不用这么麻烦.
证明：A有四个线性无关的特征向量==>A可对角化
则存在可逆矩阵P,使得：P逆AP=Λ,其中Λ为对角阵
两边作转置得：(P^T)(A^T)(P逆^T)=Λ
即：(P^T)(A^T)(P^T)逆=Λ
因此A^T可对角化,因此A^T存在四个线性无关的特征向量.
这样就行了,因为有4个线性无关的特征向量是可对角化的充分必要条件.
如果非要搞懂你写的证明,请把完整证明写出来,至少要说清楚这里面P,D,α都是什么?
再问：我是半路学线性代数的~线性代数很多定理都不知道，转置的规则有什么？还有两边作转置得：(P^T)(A^T)(P逆^T)=Λ（是不是应该是(P^T)(A^T)(P逆^T)=Λ^T )
再答：转置运算法则(AB)^T=(B^T)(A^T) 转置与逆矩阵运算可交换 Λ是对角阵，转置后显然是不变的。

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