已知定义在r上的函数f(x)满足f(x+3)=-f(x)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 05:18:47

已知定义在r上的函数f(x)满足f(x+3)=-f(x)
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）=-f（x）,且f（-1）=1,求f（2012）的值
刚刚开始学函数,搞不懂什么是周期函数这题能用向代入法或者其他的方法做吗

周期函数的定义：对于函数y=f（x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函数y=f（x）叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.事实上,任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期.f(x + 6)
= f(x + 3 + 3)
= -f(x + 3)
= f(x)
所以f(x)是周期为6的周期函数
所以 f(2012) = f(2006) = f(2000) = ...= f(8) = f(2)
因为 f(2) = f(-1 + 3) = -f(-1) = -1
所以 f(2012) = -1
再问： f(x+6)是怎么来的？
再答：你令x＝x＋3在进行转化，即可得到F(X+3+3)=-F(X+3)=-F(X) 所以f(x)是周期为6的周期函数

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