已知函数f（x）=3sinωx•cosωx-cos2ωx+32（ω∈R，x∈R）的最小正周期为π，且图象关于直线x=π6

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/11 05:17:04

已知函数f（x）=

（1）∵f（x）=
3sinωx•cosωx-cos²ωx+
3
2
=

3
2sin2ωx-
1
2（1+cos2ωx）+
3
2=sin（2ωx-
π
6）+1，
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴
2π
|2ω|=π，即ω=±1，
∴f（x）=sin（±2x-
π
6）+1．
①当ω=1时，f（x）=sin（2x-
π
6）+1，
∴f（
π
6）=sin
π
6+1不是函数的最大值或最小值，
∴其图象不关于x=
π
6对称，舍去．
②当ω=-1时，f（x）=-sin（2x+
π
6）+1，
∴f（
π
6）=-sin
π
2+1=0是最小值，
∴其图象关于x=
π
6对称．
故f（x）的解析式为f（x）=1-sin（2x+
π
6）．
（2）∵y=1-f（x）=sin（2x+
π
6）在同一坐标系中作出
y=sin（2x+
π
6）和y=a的图象，
由图可知，直线y=a在a∈[−
1
2，
1
2)或a=1时，两曲线只有一个交点，
∴a∈[−
1
2，