如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O为它的内切圆，切点分别是D、E、F．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/12 03:54:23

如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O为它的内切圆，切点分别是D、E、F．
（I）若AC=4，BC=3，求：△ABC的内切圆的半径；
（II）若△ABC的内切圆半径r，△ABC的周长为l，则S_△ABC的值为

（1）如图；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3；
根据勾股定理AB=
AC2+BC2=5；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=
1
2（AC+BC-AB）；
即：r=
1
2（3+4-5）=1；

（2）由题意，如图，
连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；则：OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC；
∴△ABC的面积=
1
2AB×OE+
1
2BC×OD+
1
2AC×OF
∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，
∴△ABC的面积=
1
2AB×r+
1
2BC×r+
1
2AC×r=
1
2r（AB+BC+AC）
=
1
2rl．

（3）假设内切圆半径为r，则BC=r+y，AC=r+x，斜边AB=x+y，
用勾股定理：（x+r）²+（y+1）²=（x+y）²，
解得：r=
-x-y±
(x+y) 2+4xy
2，
∴r=
-x-y+
x2+y2+6xy
2，
∴S_△ABC=
1
2×AC×BC=
1
2×（x+
-x-y+
x2+y2+6xy
2）（y+