已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点为f1（-2,0）,f2(2,o)点p(3,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 06:08:39

已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点为f1（-2,0）,f2(2,o)点p(3,根号7）在双曲线C上
（1）求双曲线C的方程
（2）记O为坐标原点,过点Q（0,2）的直线L与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为2又根号2,求直线L的方程

已知双曲线c:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的两个焦点为f1（-2,0）,f2(2,o)点p(3,√7）在双曲线C上
（1）求双曲线C的方程
依题意
焦点c=±2
由c²=a²+b²=4
得双曲线方程为x²/a²-y²/(4-a²)=1 （0＜a²＜4）
将点p(3,√7）代入上式,得
9/a²-7(4-a²)=1
解得a²=18（舍去）或a²=2 满足条件
故所求双曲线C的方程为
x²/2-y²/2=1
（2）记O为坐标原点,过点Q（0,2）的直线L与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为2√2,求直线L的方程
依题意,∵直线L:y=kx+b 过点Q（0,2）可得b=2
即可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理
(1-k²)x²-4kx-6=0.①
∵直线L与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴1-k²≠0
∴△=(-4k)²+4×6(1-k²)＞0
解得k²≠±1,-√3＜k＜√3
∴k∈(-√3)∪(-1,1) ∪(1,√3).②
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
x1+x2=4k/(1-k²)
x1x2=6/(1-k²)
代入两点间的距离公式,于是
|EF|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(1-k²)(x1-x2)²]
=√(1-k²)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1-k²)[2√2√(3-k²)]/|1-k²|
而原点O到直线l的距离d=2/√(1+k²)
∴SΔOEF=(1/2)d×|EF|
=(1/2)×(2/√(1+k²))×(√(1-k²)[2√2√(3-k²)]/|1-k²|)
=[2√2√(3-k²)]/|1-k²|
若SΔOEF=2√2
即[2√2√(3-k²)]/|1-k²|=2√2
k²×k²-k²-2=0
k²(k²-1)=2
解得k=±√2,满足②.
故满足条件的直线L有两条,其方程分别为
y=√2x+2和y=-√2x+2