椭圆定点,向量积为定值的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 16:03:06

椭圆定点,向量积为定值的问题
过平面内一定点L（m,n）作一直线y=kx+b交椭圆X^2/A+Y^2/B=1于两点P,Q,那么在平面内是否有一点T（t,r）使得TP,TQ向量积为定值?该定值为多少?T点坐标多少?
补充：我认为存在这样一个点,因为当L在X轴上和Y轴上时这个结论都成立,而且我成功证明了,但是我不知道当L不在X、Y轴上该点是否存在.求大神证明,㊣好加分.

郭敦顒回答：
不用把问题说得那么复杂,只需说平面内有两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
那么在平面内是否有一点T（t,r）使得TP,TQ向量积为定值d?
所说TP,TQ的向量积为标积（也叫点积）,按定义,
向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ,θ为TP与TQ的夹角,
TP×TQ×cosθ=d为定值.
应有Rt⊿TPQ,∠TPQ=90°,斜边TQ=C,直角边TP=a,PQ=b,则
∠QTP=θ,cosθ=a/C
TP×TQ×cosθ= aC×a/C=a²,
∴a²=d,a=√d,C=√（a²+b²）,
∴在平面内存在点T（t,r）使得TP,TQ向量积为定值d,d的取值范围是（0,∞）,
但点T（t,r）非唯一,而是4点：A（t1,r1）,B（t2,r2）,C（t3,r3）,D（t4,r4）,
作PQ的垂线AB,CD,AB的中点为P,CD的中点为Q.点A、B、C、D的坐标值可求.
再问：大致明白了，两个问题 1.为什么向量积是定值了，TPQ就是直角三角形了？ 2.这些点用我题目所给的符号如何表示出来？或者说，t,r如何用已知符号表达？
再答：郭敦顒继续回答： 1为什么向量积是定值了，TPQ就是直角三角形了？按定义，向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ，且θ为TP与TQ的夹角， TP×TQ×cosθ=d为定值。即有Rt⊿TPQ，使得a²=d。注意，定值关系的最简表达式就是a²=d，可以这样说：有“a²=d”必有“Rt⊿TPQ”。 2.这些点用我题目所给的符号如何表示出来？或者说，t,r如何用已知符号表达？这问题就是进行换元的问题。具体而言就涉及到了直线方程和椭圆方程中的m、n、k、b、A、B的6个元，用这些符号表达t和r，在理论上没什么困难，而实际操作上又很繁琐，就交给出这题的人去解吧。

平面内与两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆对吗? 为什么椭圆上的任意一个点到两个定点的距离和为一个定值椭圆和向量中的定值已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,OA向量+ （2007•长宁区一模）平面内“一个动点到两个定点距离之和为定值”是“动点轨迹为椭圆”的（　　）圆锥曲线中的定点定值问题椭圆定义中到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹,该如何理解? 平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（大前提）,平面内动点M到两定点F1（-2,0）F2（2 关于数学椭圆准线点M到两焦点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆还是点M到定点和定直线的距离比为定值的点的轨迹是椭圆这两个哪续关于数学椭圆准线1.点M到两焦点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆2.点M到定点和定直线的距离比为定值的点的轨迹是椭圆刚求一道数学题一抛物线Y的平方等于2PX ,一定直线过焦点,交抛物线于A,B,存在定点P能使向量PA乘向量PB为定值,写出高中数学椭圆和向量的问题急!