作业帮数学达人看过来,求一个简单的曲线积分.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 02:17:30
数学达人看过来,求一个简单的曲线积分.
曲线L：x^2/4 + y^2/3 = 1 ,周长a 则
∮c（2xy+3x^2+4y^2）dL = _________
曲线L：x^2/4 + y^2/3 = 1 ,周长a 则
∮c（2xy+3x^2+4y^2）dL = _________
属于第一类曲线积分
被积式2xy+3x^2+4y^2可有曲线方程化简
即3x^2+4y^2可由曲线L：x^2/4 + y^2/3 = 1 （两边同乘12）化简为12
被积式变为2xy+12,有
∮c（2xy+3x^2+4y^2）dL=∮c（2xy）dL+12∮c dL
其中后半部分∮c dL即为椭圆周长 即 pi*a*b=2*根号3*pi
由又曲线L是关于y轴对称以及第一部分被积函数关于x为奇函数,即曲线积分为0
综上 有∮c（2xy+3x^2+4y^2）dL =12倍的曲线L的周长,即椭圆周长 24根号3 *pi
pi为圆周率
再问： 首先非常感谢解答的这么详细。思路看明白了，就是还有点小问题： 1、您提到的第6行中：pi*a*b=2*根号3*pi 是椭圆面积公式啊。（再说周长题目已经给出了是a。呵呵） 2、您提到的第7行中：第一部分曲线积分为0，能否再详细解释下。
被积式2xy+3x^2+4y^2可有曲线方程化简
即3x^2+4y^2可由曲线L：x^2/4 + y^2/3 = 1 （两边同乘12）化简为12
被积式变为2xy+12,有
∮c（2xy+3x^2+4y^2）dL=∮c（2xy）dL+12∮c dL
其中后半部分∮c dL即为椭圆周长 即 pi*a*b=2*根号3*pi
由又曲线L是关于y轴对称以及第一部分被积函数关于x为奇函数,即曲线积分为0
综上 有∮c（2xy+3x^2+4y^2）dL =12倍的曲线L的周长,即椭圆周长 24根号3 *pi
pi为圆周率
再问： 首先非常感谢解答的这么详细。思路看明白了，就是还有点小问题： 1、您提到的第6行中：pi*a*b=2*根号3*pi 是椭圆面积公式啊。（再说周长题目已经给出了是a。呵呵） 2、您提到的第7行中：第一部分曲线积分为0，能否再详细解释下。