已知B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 02:59:23

已知B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心
1.求证：平面MNG//平面ACD
2.求S△MNG：S△ADC

解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD,由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线.
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,
则有：
连结PF、FH、PH有MN‖PF,又PF 平面ACD,∴MN‖平面ACD.
同理：MG‖平面ACD,MG∩MN＝M,
∴平面MNG‖平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比.
由（1）可知 ,
∴MG＝ PH,又PH＝ AD,∴MG＝ AD
同理：NG＝ AC,MN＝ CD,
∴ MNG∽ ACD,其相似比为1：3,
∴ ＝1：9
点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何.比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.
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