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过点(0,-2)的直线与抛物线y^2=8x交与AB两点,若线段AB中点的横坐标为2,AB=

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 16:45:15
过点(0,-2)的直线与抛物线y^2=8x交与AB两点,若线段AB中点的横坐标为2,AB=
直线L过(0,-2),可设其方程为:y=kx-2
联立L与抛物线y^=8x的方程,消去y,可得到关于x的一元二次方程为:
k^x^-(4k+8)x+4=0 ※
题目要求两曲线交于A,B两点,无疑,A,B为不同的两点,如果设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2应该是上述方程的两个不等实根,则应该满足:
△=(4k+8)^-4k^*4>0
k>-1(k≠0) ①
而根据韦达定理有:
x1+x2=(4k+8)/k^ ②
AB中点M的横坐标为2,则根据中点坐标公式可得:
(x1+x2)/2=2
联合②式,有:
(2k+4)/k^=2
k=2或-1
结合①中k的取值范围,舍去k=-1,从而得到k的唯一值为:k=2
将其带入方程※,使方程化为:
x^-4x+1=0
∴x1+x2=4
x1*x2=1
(x1-x2)^=(x1+x2)^-4x1*x2=12
|x1-x2|=2√3
而根据弦长公式,可得:
|AB|=√(1+k^)*|x1-x2|=√(1+2^)*2√3=2√15