作业帮求2道微积分题的解法(含过程),
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 20:27:57
求2道微积分题的解法(含过程),
1.integrate [(x^2-25)^(1/2)]/(x^4) dx
2.integrate [16x^2-25]^(-3/2) dx
1.integrate [(x^2-25)^(1/2)]/(x^4) dx
2.integrate [16x^2-25]^(-3/2) dx
1.∫ [∫√(x²-25)]/(x⁴)dx
令x²=u,则x=√u,dx=du/2x=(1/2)du/(√u),代入原式得：
原式=(1/2)∫[√(u-25)]/[(u²√u)]du=(1/2)∫[√(1-25/u)]du/u²=(1/50)∫[√(1-25/u)]d[1-(25/u)]
=(1/50)(2/3)[(1-25/u)^(3/2)]+C=(1/75)[(u-25)/u]^(3/2)+C=(1/75)[(x²-25)/x²]^(3/2)+C
=(1/75)[x²-25)^(3/2)]/x³+C.
2.∫ [16x²-25]^(-3/2) dx
原式=∫dx/√[(16x²-25)³]=(1/64)∫dx/√[(x²-(25/16)]³=(1/64)∫dx/√[(x²-(5/4)²]³
=(-1/100){x/√[(x²-(5/4)²]}+C=-x/[25√(16x²-25)]+C
第三步直接套用了公式：∫dx/(x²-a²)^(3/2)=x/[-a²√(x²-a²)]+C
令x²=u,则x=√u,dx=du/2x=(1/2)du/(√u),代入原式得：
原式=(1/2)∫[√(u-25)]/[(u²√u)]du=(1/2)∫[√(1-25/u)]du/u²=(1/50)∫[√(1-25/u)]d[1-(25/u)]
=(1/50)(2/3)[(1-25/u)^(3/2)]+C=(1/75)[(u-25)/u]^(3/2)+C=(1/75)[(x²-25)/x²]^(3/2)+C
=(1/75)[x²-25)^(3/2)]/x³+C.
2.∫ [16x²-25]^(-3/2) dx
原式=∫dx/√[(16x²-25)³]=(1/64)∫dx/√[(x²-(25/16)]³=(1/64)∫dx/√[(x²-(5/4)²]³
=(-1/100){x/√[(x²-(5/4)²]}+C=-x/[25√(16x²-25)]+C
第三步直接套用了公式：∫dx/(x²-a²)^(3/2)=x/[-a²√(x²-a²)]+C