已知椭圆C:x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点(1,3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 14:20:03

已知椭圆C:x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点(1,3/2),一组斜率为3/2的直线
与椭圆C都相较于不同两点A,B
1.证明：AB的中点都在同一直线l上
2.对于1中的直线l,设l与椭圆C交于两点M,N,试探究椭圆上使三角形MNQ面积为根号3的点Q有几个.证明你的结论

由题意知c=1,所以a²=b²+1,椭圆方程为x²/(b²+1)+y²/b²=1,
将点(1,3/2)代入方程,整理得4b^4-9b²-9=0,即(b²-3)(4b²+3)=0,
所以b²=3,a²=4,椭圆方程为x²/4+y²/3=1.
设直线为y=(3/2)x+m,代入椭圆方程得x²/4+(3/2x+m)²/3=1,
整理得3x²+3mx+m²-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,
所以y1+y2=3/2x1+m+3/2x2+m=3/2(x1+x2)+2m=1/2m,
因此AB的中点为(-1/2m,1/4m),即AB的中点都在同一直线l：y=-1/2x上.
将y=-1/2x代入椭圆x²/4+y²/3=1,得x²=3,x=±√3,
所以y=±√3/2,即M(√3,-√3/2),N(-√3,√3/2),|MN|=√15,
因为△MNQ的面积是√3,所以点Q到直线y=-1/2x的距离为2√3/√15=2/√5.
设平行于直线l：y=-1/2x的直线l'的方程为y=-1/2x+n,
则l与l'之间的距离应满足|n|/√[(1/2)²+1²]=2/√5,解得n=±1,
所以l'的方程是y=-1/2x+1或y=-1/2x-1.
将y=-1/2x+1代入x²/4+y²/3=1整理得x²-x-2=0,解得x=-1或2,
因此直线y=-1/2x+1与椭圆的交点是Q1(-1,3/2),Q2(2,0).
同理可得直线y=-1/2x-1与椭圆的交点是Q3(1,-3/2),Q(-2,0).
故椭圆上使三角形MNQ面积为√3的点Q有四个.

已知F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点,椭圆C上的点(1,根号3/2 椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且│PF1│=4/3,│PF 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆C上,且向量AF1× 已知F1,F2是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且向量PF1垂直向已知F1 F2是椭圆C:X^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2. 已知椭圆C：X²/a²+Y²/b²=1（a>b>0）的两个焦点为F1,F2,点P 已知椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的上顶点为A,左右焦点为F1,F2,且椭圆过P(4/3,b 高数椭圆问题已知F1,F2时椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的两个点.P为椭圆C上一点.且向量P 已知F1,F2分别是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点M是椭圆上一点,且∠F1 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点椭圆离心率的问题,1.设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点p(3,4),F1、F2为椭圆的两个焦点,且满足PF1⊥P