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如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 01:11:50
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.

(1)若BE是△DEC的外接圆的切线,求∠C的大小;
(2)当AB=1,AC=2时,求△DEC的外接圆的半径.
(1)∵DE垂直平分AC,
∴∠DEC=90°,
∴DC是⊙O的直径,
∴O在DC上,
连接OE,
∵BE是⊙O的切线,
∴∠OEB=90°,
∴∠EBO+∠BOE=90°,
在Rt△ABC中,E为斜边AC的中点,
∴BE=EC=AE=
1
2AC(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半),
∴∠EBO=∠C,
∵OC=OE,
∴∠C=∠CEO,
∵∠BOE=∠C+∠CEO,
∴∠BOE=2∠C,
∵∠EBO+∠BOE=90°,∠EBO=∠C
∴∠C+2∠C=90°,
∴∠C=30°;
(2)在Rt△ABC中,BC=
AC2−AB2=
3,
EC=
1
2AC=1,
∵∠ABC=∠DEC=90°,∠C=∠C,
∴△DEC∽△ABC,

AC
DC=
BC
EC,

2
DC=

3
1,
∴DC=
2
3
3,
∴△DEC的外接圆的半径是

3
3.