作业帮一道微分方程设函数f在[1,＋∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 14:58:51
一道微分方程
设函数f在[1,＋∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
试求y=f(x)所满足的微分方程,并求微分方程满足条件y(2)=2/9的特解
因为我做出的答案和它的不一样
设函数f在[1,＋∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
试求y=f(x)所满足的微分方程,并求微分方程满足条件y(2)=2/9的特解
因为我做出的答案和它的不一样
由旋转体的性质,将旋转体x轴平均分割成每段dx .则
每个旋转体可看成小圆柱体,则整个旋转体可看成这些圆柱体的体积和
而圆柱体体积为：
V1=π*[f(x)]^2*dx
所以旋转体的体积为：
V=∫π*[f(x)]^2*dx 其中积分区域为 x=1到x=t
而绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
则∫π*[f(x)]^2*dx=π/3[t^2f(t)-f(1)]
两边对t求导得
π*[f(t)]^2=π/3*2tf(t)+π/3t^2f'(t)
化简得
f'(t)+2/tf(t)-3[f(t)]^2=0
令h=1/f(t)
则可化为：
dh/dt-2h/t+3/t^2=0
为一阶线性非其次方程,使用公式可知：
h=e^∫(2/t)dt（C+∫e^∫(-2/t)*(-3/t^2)dt
h=t^2(C+1/t^3)
所以f(t)=1/[t^2(C+1/t^3)]
因为y(2)=2/9
则2/9=1/[2^2(C+1/2^3)]
则C=1
所以
f(x)=1/[x^2(1+1/x^3)]=x/(x^3+1）
每个旋转体可看成小圆柱体,则整个旋转体可看成这些圆柱体的体积和
而圆柱体体积为：
V1=π*[f(x)]^2*dx
所以旋转体的体积为：
V=∫π*[f(x)]^2*dx 其中积分区域为 x=1到x=t
而绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
则∫π*[f(x)]^2*dx=π/3[t^2f(t)-f(1)]
两边对t求导得
π*[f(t)]^2=π/3*2tf(t)+π/3t^2f'(t)
化简得
f'(t)+2/tf(t)-3[f(t)]^2=0
令h=1/f(t)
则可化为：
dh/dt-2h/t+3/t^2=0
为一阶线性非其次方程,使用公式可知：
h=e^∫(2/t)dt（C+∫e^∫(-2/t)*(-3/t^2)dt
h=t^2(C+1/t^3)
所以f(t)=1/[t^2(C+1/t^3)]
因为y(2)=2/9
则2/9=1/[2^2(C+1/2^3)]
则C=1
所以
f(x)=1/[x^2(1+1/x^3)]=x/(x^3+1）
设直线l:y=t^2-t,t属于(0,1/2).若直线l与f(x)=x^2-x的图像以及y轴所围成封闭图形的面积是S1(
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