作业帮已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 18:00:18
| 已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点. （1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在  上分别取点E、F，使∠AO 1 E=∠BO 2 F，则有结论①△PO 1 E≌△FO 2 P，②四边形PO 1 CO 2 是菱形，请给出结论②的证明；（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明； （3）如图3，若PC是⊙O 1 的切线，求证：AB 2 =BC 2 +3AC 2 。 |
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（1）∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，
，
，
∴四边形PO 1 CO 2 是平行四边形，
∵AC=BC，
∴PO 1 =PO 2 ，
∴四边形PO 1 CO 2 是菱形；
（2）结论①成立，结论②不成立，
结论①证明如下：
∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，
，
，
即PO 1 =BO 2 ，AO 1 =PO 2 ，
∴△APO 1 ≌△BPO 2 （SSS）；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴
；
，
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点，
∵PC⊥AD，BD⊥AD，
∴PC∥BD，
又∵AP=BP，
∴CD=a，BD=2b，BC 2 =2a 2 +4b 2 ，
∴
，
∴AB 2 =BC 2 +3AC 2 。
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，
， ，∴四边形PO 1 CO 2 是平行四边形，
∵AC=BC，
∴PO 1 =PO 2 ，
∴四边形PO 1 CO 2 是菱形；
（2）结论①成立，结论②不成立，
结论①证明如下：
∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，
， ，即PO 1 =BO 2 ，AO 1 =PO 2 ，
∴△APO 1 ≌△BPO 2 （SSS）；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴
； ，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点，
∵PC⊥AD，BD⊥AD，
∴PC∥BD，
又∵AP=BP，
∴CD=a，BD=2b，BC 2 =2a 2 +4b 2 ，
∴
，∴AB 2 =BC 2 +3AC 2 。
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
已知，如图，在三角形ABC中，AB=AC。以腰AB为直径作半圆O，分别交BC,AC于点D,E 问
如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半
如图,O为等腰三角形ABC的底边AB的中点,以AB为直径的半圆分别交AC, BC于点E,
已知：如图，以△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系
如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3
如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3 ．
如图,已知三角形ABC中,角A=90度,以AB为直径作半圆交BC于点D,过点D作圆O的切线交AC于点P,求证：PA=PC
已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．
（2014•白银）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE
已知：如图,以三角形ABC的一边BC为直径作半圆,交AB于E,过E点作半圆O的切线恰与AC垂直,试确定BC与AC的大小关
如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，