已知抛物线y=-x^2+1,求其第一象部分限一切点p(x0,y0),使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积最小?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 05:31:45
已知抛物线y=-x^2+1,求其第一象部分限一切点p(x0,y0),使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积最小?
对抛物线求导
y'=-2*x
即切线斜率为-2*x0
切点为(x0,-(x0)^2+1)
所以切线方程为
y+(x0)^2-1=-2*(x0)*(x-x0)
该直线与坐标轴的交点为
(0,(x0)^2+1),(((x0)^2+1)/(2*x0),0)
所以面积为1/2*((x0)^2+1)^2/(2*x0)=1/4*((x0)^3+2*x0+1/x0)
对该算式求导,得3*(x0)^2+2-1/(x0)^2=0
解得x0=±sqrt(3)/3
又因为该点在第一象限,所以p点为(sqrt(3)/3,2/3) “所以面积为1/2*((x0)^2+1)^2/(2*x0)=1/4*((x0)^3+2*x0+1/x0)”
这一步不懂,1/2xy算出三角形的面积难道不用减去抛物线围成的面积吗?
对抛物线求导
y'=-2*x
即切线斜率为-2*x0
切点为(x0,-(x0)^2+1)
所以切线方程为
y+(x0)^2-1=-2*(x0)*(x-x0)
该直线与坐标轴的交点为
(0,(x0)^2+1),(((x0)^2+1)/(2*x0),0)
所以面积为1/2*((x0)^2+1)^2/(2*x0)=1/4*((x0)^3+2*x0+1/x0)
对该算式求导,得3*(x0)^2+2-1/(x0)^2=0
解得x0=±sqrt(3)/3
又因为该点在第一象限,所以p点为(sqrt(3)/3,2/3) “所以面积为1/2*((x0)^2+1)^2/(2*x0)=1/4*((x0)^3+2*x0+1/x0)”
这一步不懂,1/2xy算出三角形的面积难道不用减去抛物线围成的面积吗?
“使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积最小?”
原题不是已经告诉了,见不见都没有意义,这个点求出来之后,两种情况
(减或不减)都是最小
另外,我再插一下,这道题是什么上的题,挺好的,我这种题型见得比较少
再问: 我认为画出来的图是这样的,而阴影部分的面积是所求,而1/2xy算出来只是切线与x、y轴的面积,而不是原题的“使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积”是不是这样?
再答: 就好像如果要算S1(阴影面积)为最小值时的情况,而S2(抛物线与坐标轴围成的面积) 是一个定值,所以当S1+S2最小时,S1也就最小. 最关键的是,此题并不需要把阴影面积算出来,只需要得出面积最小时P点的坐标 如果非要算的话也可以算出来,用定积分就可以 先将f(x)=y=-x^2+1,导回去得到F(x)=-1/3x^3+x 则抛物线与坐标轴围成的面积为F(1)-F(0)=2/3-0=2/3(这是一个定值,不会变)
原题不是已经告诉了,见不见都没有意义,这个点求出来之后,两种情况
(减或不减)都是最小
另外,我再插一下,这道题是什么上的题,挺好的,我这种题型见得比较少
再问: 我认为画出来的图是这样的,而阴影部分的面积是所求,而1/2xy算出来只是切线与x、y轴的面积,而不是原题的“使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积”是不是这样?
再答: 就好像如果要算S1(阴影面积)为最小值时的情况,而S2(抛物线与坐标轴围成的面积) 是一个定值,所以当S1+S2最小时,S1也就最小. 最关键的是,此题并不需要把阴影面积算出来,只需要得出面积最小时P点的坐标 如果非要算的话也可以算出来,用定积分就可以 先将f(x)=y=-x^2+1,导回去得到F(x)=-1/3x^3+x 则抛物线与坐标轴围成的面积为F(1)-F(0)=2/3-0=2/3(这是一个定值,不会变)
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