证明方程x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+.+x=1 在(0,1)内有唯一实根为Xn, 并求lim(n→＋∞)Xn

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 00:45:40

证明方程x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+.+x=1 在(0,1)内有唯一实根为Xn, 并求lim(n→＋∞)Xn.
要详细的解答过程,谢谢.

设f(x)=x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+.+x-1,f(0)=-1<0,f(1)>0,则(0,1)内存在实根,下面证明唯一性,对于x^n在（0,1）上是增函数,n个增函数相加还是增函数,故f(x)在（0,1）是增函数,故上述零点有且只有1个.下面证明xn极限存在性.

同时此数列有界（0,1）,所以xn极限存在,设其为k,

其中证明数列xn增减性略显繁琐,算是给楼主抛砖引玉吧
再问：谢谢，请问，那个一坨是什么？？？
再答：

因为太长，不想写了就用一坨代替……，证明有根要判定f（x）的增减性，一般来说都是要用导数的，但是这道题可以直接看出增减性，所以就免去用导数了
再问：谢了~
再答：不客气

设方程x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+.+x=1 在(0,1)内有唯一根为Xn,并求lim(n→＋∞)Xn. 方程x^n+x=1(n≥1自然数,在x≥0上有唯一解记为Xn)证明数列{Xn}有极限,且lim n→无穷,Xn=1..这证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n= 设x>0,xn+1=(xn+a/xn)/2,其中a>0,证明lim xn(n趋近于∞）存在,并求之. x1=1,x2=1+x1/(1+x1).xn=1+x(n-1)/[1+x(n-1)]证明lim(n→∞)xn存在,并求其数列极限：若xn>0 lim x(n+1)/xn存在,则 lim n次根号下(xn)=lim x(n+1)/xn 设Xn>0,且 lim(X(n+1)/Xn)=A 证明 limXn的n次根号=A Xn=1/2*(X(n-1) +2/X(n-1)),X1>0 证LIM Xn=根号2 设x0=1,x(n+1)=(xn+2)/(xn+1)(n>=0),证明数列{xn}收敛. 证明 lim x-无穷大 cos2n/（n+1）=0 2.设数列xn有界 lim x-无穷 y 设f(x)=x/a(x+2),方程f(x)=x有唯一解,f(Xo)=1/1005,f(Xn-1)=xn,(n属于N*）求数列Xn；其中x1=2；x(n+1)=x(n)/2+1/x(n)；证明x(n)