作业帮被积函数f(x)=1/(x^3(1+x^2)^2) 的不定积分是什么?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 13:09:37
被积函数f(x)=1/(x^3(1+x^2)^2) 的不定积分是什么?
∫dx/[x^3(1+x^2)^2]
=∫xdx/[x^4(1+x^2)^2],令u=x^2
=0.5∫du/[u^2(1+u)^2]
=0.5∫du[a/u+b/u^2+c/(1+u)+d/(1+u)^2]
=0.5[aln|u|-b/u+cln|1+u|-d/(1+u)]+C
求a,b,c,d
au(1+u)^2+b(1+u)^2+cu^2(1+u)+du^2=1
令u=0,得：b+c=1
令u=-1,得：d=1
令u=1,得：4a+4b+2c+d=1,
令u=-2,得：-2a+b-4c+4d=1,
解得：a=-0.5,b=0,c=1,d=1,
所以f(x)=0.5[-0.5ln|x^2|+ln|1+x^2|-1/(1+x^2)]+C
=-0.5ln|x|+0.5ln(1+x^2)-0.5/(1+x^2)+C
再问： 这是一个非常我见到的新颖的解答，但是求abcd那一步就开始不明白了，那句话下面的关系式是怎么来的？谢谢帮助！
再答： 就是待定系数法求分解后的系数。
设1/[u^2(1+u)^2]=[a/u+b/u^2+c/(1+u)+d/(1+u)^2]
去分母得：1=au(1+u)^2+b(1+u)^2+cu^2(1+u)+du^2
然后就可令u的不同值代入来求得a,b,c,d了。
当然也可以展开，对比系数来得到a,b,c,d.
再问： 很好的解法，赞👍
=∫xdx/[x^4(1+x^2)^2],令u=x^2
=0.5∫du/[u^2(1+u)^2]
=0.5∫du[a/u+b/u^2+c/(1+u)+d/(1+u)^2]
=0.5[aln|u|-b/u+cln|1+u|-d/(1+u)]+C
求a,b,c,d
au(1+u)^2+b(1+u)^2+cu^2(1+u)+du^2=1
令u=0,得：b+c=1
令u=-1,得：d=1
令u=1,得：4a+4b+2c+d=1,
令u=-2,得：-2a+b-4c+4d=1,
解得：a=-0.5,b=0,c=1,d=1,
所以f(x)=0.5[-0.5ln|x^2|+ln|1+x^2|-1/(1+x^2)]+C
=-0.5ln|x|+0.5ln(1+x^2)-0.5/(1+x^2)+C
再问： 这是一个非常我见到的新颖的解答，但是求abcd那一步就开始不明白了，那句话下面的关系式是怎么来的？谢谢帮助！
再答： 就是待定系数法求分解后的系数。
设1/[u^2(1+u)^2]=[a/u+b/u^2+c/(1+u)+d/(1+u)^2]
去分母得：1=au(1+u)^2+b(1+u)^2+cu^2(1+u)+du^2
然后就可令u的不同值代入来求得a,b,c,d了。
当然也可以展开，对比系数来得到a,b,c,d.
再问： 很好的解法，赞👍
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