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求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值,并指出当x取何值时,函数取得最值.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 02:02:43
求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值,并指出当x取何值时,函数取得最值.
设t=sinx−cosx=
2sin(x−
π
4),…(2分)
则t∈[− 
2,
2],
sin2x=2sinxcosx=1-t2.…(6分)
∴y=sin2x-2sinx+2cosx
=1-t2-2t
=-(t+1)2+2.…(8分)
∴当t=
2时,即x=2kπ+

4,k∈Z时,y取得最小值为−1−2
2;…(11分)
当t=1时,即x=2kπ或2kπ−
π
2时,y取得最大值为2.…(14分)