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基本不等式题目求不等式√x+√y0,y>0恒成立的实数a的最小值

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 16:00:31
基本不等式题目
求不等式√x+√y0,y>0恒成立的实数a的最小值
设m=√x,n=√y,则不等式变为:m+n≤a√(m²+n²),
等价于不等式:(m+n)²≤a²(m²+n²),
等价于不等式:(m/n+1)²≤a²[(m/n)²+1],
设p=m/n,则不等式变为:(p+1)²≤a²(p²+1),
整理得:(a²-1)p²-2p+(a²-1)≥0 .
要使不等式恒成立,则需要判别式≤0 ,
即:4-4(a²-1)≤0,可得:a²≥2 .
因为,a>0时,原不等式才能成立;
所以,a的最小值为 √2 .