作业帮均匀收敛的证明题!(1+x/n)^n/e^x 证明该函数均匀收敛.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 12:36:39
均匀收敛的证明题!
(1+x/n)^n/e^x 证明该函数均匀收敛.
(1+x/n)^n/e^x 证明该函数均匀收敛.
你说的均匀收敛是一致收敛吧.x应该有一个范围,否则这个函数列不会一致收敛的.
显然这个函数的收敛函数是1.
对任意的n﹥0,都存在x充分大的时候,(1+x/n)^n/e^x﹤1/2.
所以这个函数列在x∈R不一致收敛.
当x是在一个有限的区域的时候,是一致收敛的.证明的时候对原式取一个自然对数,证明得到的式子是一致收敛于0的即可.
再问： 在闭区间[a,b]上，求证明啊，帮帮忙
再答： 对原函数取一个自然对数，得到n·ln(1+x/n)-x。我们只要证明这个函数是一致收敛的即可。 这个函数的收敛函数是0. 不妨设|x|0). 令f(x)=n·ln(1+x/n)-x，则f(x)=n·(x/n-(x/n)²·½+o(x²/n²))-x,(这里用到了带佩亚诺余项的泰勒展式，中间的那一项o(x²/n²)是小欧（x²/n²）)。 由小欧的定义，存在K>0,使o(x²/n)0,当n≧N时，对任意的x∈[a,b],|f(x)-0|0,存在N>0,当n≧N时，对任意的x∈[a,b],|f(x)-0|a>0
再答： 因为对数函数ln是初等函数。我这样变过来主要是为了求导方便，其实你对原来的函数求导也是一样的。 不知道你们书上有没有这个定理。（最值判别法） fn(x)一致收敛的充分必要条件是lim(n趋于+∞) sup(x∈I){|fn(x)-f(x)|}=0。(f(x)是收敛的极限函数) 定理说的是对每一个n，找到|fn(x)-f(x)|的最大值，这个最大值显然是和n有关的。只要这个最大值关于n是趋于0的就可以了。 既然已知已知b>a>0，那么我上面写的|fn(x)-f(x)|的最小值就是在x=b的时候取到。这个式子只与n有关，考察n趋于+∞的时候的极限就好了。
显然这个函数的收敛函数是1.
对任意的n﹥0,都存在x充分大的时候,(1+x/n)^n/e^x﹤1/2.
所以这个函数列在x∈R不一致收敛.
当x是在一个有限的区域的时候,是一致收敛的.证明的时候对原式取一个自然对数,证明得到的式子是一致收敛于0的即可.
再问： 在闭区间[a,b]上，求证明啊，帮帮忙
再答： 对原函数取一个自然对数，得到n·ln(1+x/n)-x。我们只要证明这个函数是一致收敛的即可。 这个函数的收敛函数是0. 不妨设|x|0). 令f(x)=n·ln(1+x/n)-x，则f(x)=n·(x/n-(x/n)²·½+o(x²/n²))-x,(这里用到了带佩亚诺余项的泰勒展式，中间的那一项o(x²/n²)是小欧（x²/n²）)。 由小欧的定义，存在K>0,使o(x²/n)0,当n≧N时，对任意的x∈[a,b],|f(x)-0|0,存在N>0,当n≧N时，对任意的x∈[a,b],|f(x)-0|a>0
再答： 因为对数函数ln是初等函数。我这样变过来主要是为了求导方便，其实你对原来的函数求导也是一样的。 不知道你们书上有没有这个定理。（最值判别法） fn(x)一致收敛的充分必要条件是lim(n趋于+∞) sup(x∈I){|fn(x)-f(x)|}=0。(f(x)是收敛的极限函数) 定理说的是对每一个n，找到|fn(x)-f(x)|的最大值，这个最大值显然是和n有关的。只要这个最大值关于n是趋于0的就可以了。 既然已知已知b>a>0，那么我上面写的|fn(x)-f(x)|的最小值就是在x=b的时候取到。这个式子只与n有关，考察n趋于+∞的时候的极限就好了。
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