在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值为1和1/2,AP=2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 01:21:14

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值为1和1/2,AP=2
E,F依次是PB,PC的中点.
求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.急.xiexie.

令AB、CD的中点分别为M、N.
∵E、M分别是PB、AB的中点,∴EM是△PAB的中位线,∴EM∥PA,∴EM∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴AD∥BC,又M、N分别是AB、CD的中点,∴MN∥AD,∴MN∥平面PAD.
∵EM∥平面PAD、MN∥平面PAD、EM∩MN＝M,∴平面EMN∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.
∵CD⊥AD、CD⊥PA、PA∩AD＝A,∴CD⊥平面PAD,而平面EMN∥平面PAD,
∴CD⊥平面EMN,∴∠CEN＝EC与平面EMN所成的角＝EC与平面PAD所成的角.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA＝PB与平面ABCD所成的角、∠PDA＝PD与平面ABCD所成的角,
∴tan∠PBA＝1、tan∠PDA＝1/2.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB、PA⊥AD,∴tan∠PBA＝PA/AB、tan∠PDA＝PA/AD,
又tan∠PBA＝1、tan∠PDA＝1/2,∴PA/AB＝1、PA/AD＝1/2,而PA＝2,∴AB＝2、AD＝4.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝4,显然有：BM＝AB/2＝1.
∵PA⊥AB,∴PB＝√（PA^2＋AB^2）＝√（4＋4）＝2√2,∴BE＝PB/2＝√2.
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
∵BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB＝A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥BE,
∴EC＝√（BE^2＋BC^2）＝√（2＋16）＝3√2.
∵CN⊥平面EMN,∴CN⊥EN,∴EN＝√（EC^2－CN^2）＝√（18－1）＝√17.
∴sin∠CEN＝EN/EC＝√17/（3√2）＝√34/6.
∴EC与平面PAD所成角的正弦值为√34/6.

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PC与底面所成的角为arctan根号5 在四棱锥P-ABCD中,若ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD若PA＝AD＝AB求PC与平面ABCD所成角的正切值如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD中点. 在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,BC=根号3,PB=根号2,PD=2 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点, 求证:DF⊥AP; 如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,且PD与底面ABCD所成的角为45°, 已知：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2,E是PD的中点四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.已知PB‖平面AE 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形 ,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=根号3,BC=1,PA=2,E为PD的中点, 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2, 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形,O,E,F分别是AC,PA,PB的中点.