梯形ABCD中,两底AB、CD的中点为E、F,对角线交点为G,两腰延长线交点H,求证：EFGH四点共线

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 04:22:05

梯形ABCD中,两底AB、CD的中点为E、F,对角线交点为G,两腰延长线交点H,求证：EFGH四点共线
方法多多益善

这道题首先就缺少一个条件,梯形ABCD为等腰梯形.
在这种情况下,容易证明△CDH的高为∠H的的垂直平分线,即为HF.同时HF与AB的交点为E.
等腰梯形内,容易证明△ACD≌△BCD,即两条对角线AC=BD.过交点G做AB的平行线,根据平行线分线段成比例定理,证明AG=BG,CG=DG.
在等腰△GCD中,高即为CD的垂直平分线GF.
故四点同线.
再问：题目没问题
再答： 1.连接HF，交AB于X。△AHX∽△HDF，所以AX:DF=HX:HF; 同理△HXB∽△HFC,BX:FC=HX:HF。所以AX=XB，X即为AB中点E。HEF三点一线。 2.连接FG，延长交AB于Y。同前证明△AYG∽△GFC，AY:FC=YG:GF 同理，△BYG∽△DGF，BY:DF=YG:GF 所以AY=BY，Y即为AB中点E，即EGF三点一线。所以四点一线。
再问：其他方法呢
再答：可以通过面积来证明。 1.连接HE、EF、HF。在梯形ABCD中，因为底和高都相等，所以两个小梯形面积AEFD=EBCF。为梯形ABCD面积的一半。在△AHB中，两个小三角形面积AHE=BHE。为△AHB的一半。在△DCH中，两个小三角形面积DHF=CHF。为△DCH的一半。所以S△AHE+S梯形AEFD=S△DHF。三点同线。 2.连接GE、GF、EF。同理证明，EGF同线。
再问：在△AHB中，两个小三角形面积AHE=BHE。为△AHB的一半。在△DCH中，两个小三角形面积DHF=CHF。为△DCH的一半。所以S△AHE+S梯形AEFD=S△DHF。怎么得出三点同线。
再答：因为不可能出现不同线的情况呀。有一边同线，且两小面积和等于大三角形的面积，那如果另一侧的三个点不同线，面积肯定不相等呀。你画一个图，设一个反例。E点不在HF上，你看看面积关系能成立吗？

证明任何梯形两底中点,对角线交点和两腰延长线的交点四点共线已知梯形ABCD中 2条对角线相交于O,上下底中点M,N两腰延长线交点P ,求证PMON四点共线已知四边形ABCD,对角线AC垂直BD于O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.求证：四边形EFGH为矩已知四边形ABCD,对角线AC垂直BD与O,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA,的中点.求证四边形EFGH为矩如图已知四边形ABCD,对角线AC垂直BD于O,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点.求证：四边形EFGH 已知空间四边形abcd.e f g h 分别是ab bc cd da的中点,求证efgh为平行四边形已知四边形ABCD中,对角线AC=BD,交点为O,E、F分别为AB、CD的中点.求证：三角形WTO为等腰三角形在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,E,F,G.H,分别为AD,BE,BC,CE的中点.求证:四边形EFGH 已知,如图,从菱形abcd的对角线的交点o分别向各边引垂线,垂线分别是e,f,g,h,求证：四边形efgh为矩形设E,F,G,H分别为四面体ABCD中BC,CD,DA,AB的中点.求证四面体被平面EFGH分成等积的已知在四面体abcd中ac=bd,而且e,f,g,h,分别为棱,ab,bc,cd,da,的中点,求证,四边形efgh是菱四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形