已知椭圆C：X²／a²＋Y²／b²=1（a＞b＞0）的离心率为√6／3,短轴一个

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 06:10:22

已知椭圆C：X²／a²＋Y²／b²=1（a＞b＞0）的离心率为√6／3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3
（1）求椭圆C的方程
（2）设直线L与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线L的距离为√3／2,求三角形AOB的最大面积
注：我已求出椭圆C为：（4X²）／9＋（4Y²）／3=1
要大概过程和结果

(1)∵椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
∴椭圆的焦点在X轴上
∵短轴一个端点到右焦点的距离为√3
∴b^2+c^2=3=a^2
∴a=√3
又∵e=√6/3=c/a
∴c=√2,b=1
∴椭圆C：x^2/3+y^2=1
(2)设直线l：y=kx+b
∵坐标原点O到直线l的距离d为√3/2
则由点到直线距离公式,得：
d=√3/2=|b|/√[k^2+1]
则b^2=(3/4)(k^2+1)
∵直线l与椭圆C交与A,B两点
∴设A(x1,y1)B(x2,y2)
则由直线和椭圆相交弦长公式,得：
|AB|
=√[k^2+1]*|x1-x2|
=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
∵椭圆C:x^2/3+y^2=1
直线l:y=kx+b
则联立可得：
x^2/3+(kx+b)^2=1
[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0
由于：A,B为其交点,
则x1,x2为方程的两根
则由韦达定理,得：
x1+x2=-6kb/(1+3k^2)
x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)
∴|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]
=√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}
=√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}
=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}
设t=1/(3k^2+1) (t∈(0,1])
∴|AB|=√[3+4t-4t^2]
=√[-4(t-1/2)^2+4]
则当t=1/2时,|AB|max=2
此时k=±√3/3
∴S△AOBmax=(1/2)|AB|dmax
=(1/2)×2×(√3/2)
=√3/2

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