已知f（x）=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为n＝(1，3)．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 07:31:34

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为

＝(1，3)

（1）由题意可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
因为函数的图象与y轴交于点（0，2），
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为

n＝(1，3)，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因为x＝
2
3是函数f（x）的极值点，
所以f′（
2
3）=
4
3+
4a
3+b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x³+a=2x²-4x+2．
（2）由题意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，
因为函数f（x）在区间[
3
2，2]单调递增，
所以f′（x）=3x²-bx+b≥0在[
3
2，2]上恒成立，
即b≤
3x2
x−1在[
3
2，2]上恒成立，
令g（x）=
3x2
x−1，x∈[
3
2，2]，
所以g（x）=3×
(x−1)2+2(x−1)+1
x−1=3×[(x−1)+
1
x−1+2]≥12，
当且仅当x−1＝
1
x−1，即x=2时，g（x）有最小值为12．
所以b≤g（x）_min=12，
所以实数b的取值范围（-∞，12]．