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已知三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,M为AC的中点,AE垂直于BM于E,延长AE交BC于D.求证角AMB=

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 17:01:29
已知三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,M为AC的中点,AE垂直于BM于E,延长AE交BC于D.求证角AMB=角CMD.
如图:辅助线:延长AD与AC垂线交于F.
∵等腰RT△ABC.
∴∠2+∠3=90°.
∵BM⊥AD.
∴∠1+∠2=90°.
∴∠1=∠3.
∵在△ABM与△CAF中
∠1=∠3,AB=AC,∠BAM=∠ACF.
∴△ABM≌△CAF(ASA).
∴AM=CF=CM.∠AMB=∠F.
∵AC⊥CF.∠ACB=45°.
∴∠ACB=∠FCD.
在△CMD与△CFD中
CM=CF,∠MCD=∠FCD,CD=CD.
∴△CMD≌△CFD(SAS).
∴∠F=∠DMC.
∴∠CMD=∠AMB.