一道高数题求解求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 08:50:33
一道高数题求解
求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ/2]
n趋向于无穷大
求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ/2]
n趋向于无穷大
因为arctanx+arccotx=π/2,所以x≠0时,arctanx+arctan(1/x)=π/2,所以
arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+……+arctan(n^2+n)-nπ/2
=-arctan[1/(n^2+1)]-arctan[1/(n^2+2)]-……-arctan[1/(n^2+n)]
arctanx在[0,+∞)上的单调增加的,所以
-n×arctan[1/(n^2+1)]≤-arctan[1/(n^2+1)]-arctan[1/(n^2+2)]-……-arctan[1/(n^2+n)]≤-n×arctan[1/(n^2+n)]
lim(n→∞) n×n×arctan[1/(n^2+1)]=lim(n→∞) n×n×[1/(n^2+1)]=1
lim(n→∞) n×n×arctan[1/(n^2+n)]=lim(n→∞) n×n×[1/(n^2+n)]=1
所以,lim(n→∞) n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+……+arctan(n^2+n)-nπ/2]=-1
arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+……+arctan(n^2+n)-nπ/2
=-arctan[1/(n^2+1)]-arctan[1/(n^2+2)]-……-arctan[1/(n^2+n)]
arctanx在[0,+∞)上的单调增加的,所以
-n×arctan[1/(n^2+1)]≤-arctan[1/(n^2+1)]-arctan[1/(n^2+2)]-……-arctan[1/(n^2+n)]≤-n×arctan[1/(n^2+n)]
lim(n→∞) n×n×arctan[1/(n^2+1)]=lim(n→∞) n×n×[1/(n^2+1)]=1
lim(n→∞) n×n×arctan[1/(n^2+n)]=lim(n→∞) n×n×[1/(n^2+n)]=1
所以,lim(n→∞) n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+……+arctan(n^2+n)-nπ/2]=-1
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