已知正方形ABCD,E为对角线BD上一点,过E作EF垂直于DB交BC于F,连接DF,G为DF中点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 14:17:24

已知正方形ABCD,E为对角线BD上一点,过E作EF垂直于DB交BC于F,连接DF,G为DF中点
（1）求证：EG=CG
（2）将三角形BEF绕B逆时针旋转45度.（1）中的结论还成立吗?说明理由
（3）将三角形BEF绕B逆时针旋转任意角度,结论还成立吗?

1、∵四边形ABCD是正方形
∴∠FCD(∠BCD)=90°
∵EF⊥BD
∴△EFD和△DFC是直角三角形
∵G是DF的中点
∴ED=1/2DF,CG=1/2DF
∴EG=CG
2、延长EF交CD于点H,连接GH
∵四边形ABCD是正方形,△BEF绕B逆时针旋转45°,EF⊥AB
∴四边形BCHE是长方形,
∴EH=BC=CD,∠FHD=90°
∵∠BDC=45°
∴△DHF等腰直角三角形,
∵G为斜边DF中点.
∴∠GHE=∠GDC=45°,
DG=GH=1/2DF
在△DGC和△HGE中
EH=CD
DG=GH
∠GHE=∠GDC
∴△DGC≌△HGE
∴EG=CG
3、延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC EF交AB于N
在△DCG 与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD,∠FMG＝∠DCG．
∴MF‖CD‖AB．
∴∠MFE=∠ANE=90°+∠EBA
∵∠EBC=90°+∠EBA
∴∠MFE=∠EBC
在△MEF和△CEB中
EF=EB ∠MFE=∠EBC MF=BC
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠BEC+∠FEC=90°
ME=CE
∵G是MC中点
∴EG=CG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)