设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 15:34:43

设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,
令β =α1+α2+α3
（1）证明β,Aβ,A^2β线性无关
（2）若A^3β=3Aβ-2A^2β,求A的特征值,并计算行列式∣A+E∣

（1）假设xβ+yAβ+zA^2β=0
即x（α1+α2+α3）+y（λ1α1+λ2α2+λ3α3）+z（λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）=0
(x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0
因为α1,α2,α3分属不同特征值,所以线性无关,所以
x+λ1y+λ1^2z=0
x+λ2y+λ2^2z=0
x+λ3y+λ3^2z=0
此齐次方程组系数行列式为范德蒙行列式,且λ1,λ2,λ3互不相同,因而不为0,从而方程组只有零解,即有x=y=z=0
故β,Aβ,A^2β线性无关.
（2）将Aβ=λ1α1+λ2α2+λ3α3,A^2β=λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3,A^3β=λ1^3α1+λ2^3α2+λ3^3α3代入等式,并结合α1,α2,α3线性无关可得：λi^3+2λi^2-3λi=0
解得λi=0或1或-3,此即为A的特征值
因为A一定相似于对角阵C,对角元素分别为0,1,-3,所以可设A=P^(-1)CP,
∣A+E∣=∣P^(-1)CP+P^(-1)EP∣=∣P^(-1)(C+E)P∣=∣C+E∣= 1*2*（-2）= -4