已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/06 09:47:35

已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点
(1）求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标
（2）在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意的直线l都有MT⊥NT成立?若存在,求出定点T的坐标；若不存在,阐明理由

已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0)；它的一个顶点为B(0.3)；过点P(0,-1)的直线L交椭圆C于M、N两点.(1）.求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标；（2）.在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意的直线L都有MT⊥NT成立?若存在,求出定点T的坐标；若不存在,阐明理由
(1).已知c=3；b=3,故a²=b²+c²=18,a=3√2；于是的椭圆方程为x²/18+y²/9=1.
把椭圆方程写成参数形式：x=3(√2)cost,y=3sint.
设M点的坐标为(3(√2)cost,3sint),那么：
∣PM∣=√[18cos²t+(3sint+1)²]=√[18cos²t+9sin²t+6sint+1]
=√[9cos²t+6sint+10]=√[9(1-sin²t)+6sint+10]=√[-9sin²t+6sint+19]
=√[-9(sint-1/3)²+20]≦√20=2√5.
即当sint=1/3时∣PM∣获得最大值2√5；此时M点的坐标为(4,1).
(2).设过P(0,-1)的直线L的方程为y=kx-1；代入椭圆方程得9x²+18(kx-1)²-162=0
展开化简得(9+18k²)x²-36kx-144=0
设M(x₁,y₁)；N(x₂,y₂)；则：
x₁+x₂=36k/(9+18k²)=4k/(1+2k²)
x₁x₂=-144/(9+18k²)=-16/(1+2k²)
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=4k²/(1+2k²)-2=-2/(1+2k²)
y₁y₂=(kx₁-1)(kx₂-1)=k²x₁x₂-k(x₁+x₂)+1=-16k²/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1=(1-18k²)/(1+2k²)
设点T的坐标为(m,n),由于MT⊥NT,故MT•NT=0.
其中MT=(m-x₁,n-y₁)；NT=(m-x₂,n-y₂).
MT•NT=(m-x₁)(m-x₂)+(n-y₁)(n-y₂)
=m²-m(x₁+x₂)+x₁x₂+n²-n(y₁+y₂)+y₁y₂
=m²-4mk/(1+2k²)-16/(1+2k²)+n²+2n/(1+2k²)+(1-18k²)/(1+2k²)
=m²+n²+(2n-4mk-18k²-15)/(1+2k²)
=[(m²+n²)(1+2k²)+2n-4mk-18k²-15]/(1+2k²).(1)
由(1)可见：当m=0,n=3时,代入(1)式得：
MT•NT=(9+18k²+6-18k²-15)/(1+2k²)≡0
即存在定点M(0,3)使得关于任意的直线L都有MT⊥NT成立.
实际上,M就是椭圆的上顶点.

第六题：已知椭圆C的中心在坐标原点,左顶点A(-2,0),离心率e=1/2,F为右焦点,斜率K的直线过点F,交椭圆C于P 已知椭圆C的中心在坐标原点,左顶点A(-2,0),离心率e=1/2,F为右焦点,斜率K的直线过点F,交椭圆C于P.O两点已知椭圆C的中心在坐标原点,左顶点A(-2,0),离心率e=1/2,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P,Q两点,当P 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆左焦点F1(-1,0)一个顶点坐标(0,1)直线l过椭圆的右焦点F2交椭圆于AB两已知椭圆C的中点在坐标原点,左顶点A(-2,0),半焦距与半长轴之比是1/2,F为右焦点,过焦点F的直线交C于P,Q两点已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=( 已知中心在坐标原点O的椭圆C讲过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆C的方程(2)是否存在直线l：y 已知椭圆C的中心为原点O,F(1,0)是它的一个焦点,直线l经过点F与椭圆C交与A,B两点,l垂直于X轴,且OA*OB= 已知椭圆的中心在原点,焦点为F(0,-根号3),顶点为(0,2),设点A(1/2,1),过原点O的直线交于点B,C,求三【椭圆直线】椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%... 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过它的右焦点F2作倾斜角为的直线l交椭圆于M、N两点,M、N两点到椭圆右准线的距离圆锥曲线题~以坐标原点为中心,焦点在坐标轴上的椭圆中,过右焦点F做直线交椭圆与点P,B,PB延长线交右准线于点Q,且P为